Exercícios Resolvidos de Energia Cinética + Energia Gravitacional + Energia Elástica

Um sistema formado por dois blocos de mesma massa m , presos por uma mola de constante elástica k e massa desprezível, encontra-se incialmente em repouso, apoiado sobre o chão conforme a situação ( I ) da figura abaixo.

a) Em relação a seu comprimento natural, de quanto a mola está comprimida quando o sistema se encontra em equilíbrio [na situação ( I )]? A resposta deve ser dada em termos de m , g e k .

b) Faça um diagrama das forças que atuam em cada um dos blocos na situação do item anterior.

c) Um agente externo empurra o bloco de cima, fazendo com que este abaixe de uma distância ∆ y adicional em relação a posição de equilíbrio, conforme mostrado na situação ( I I ). Em seguida, o bloco de cima é liberado. Qual a altura máxima h , em relação à posição de equilíbrio, atingida pelo bloco de cima, supondo que o bloco de baixo não perde contato com o solo [situação ( I I I ) da figura]? A resposta deve ser dada em termos de m , g , k e ∆ y .

d) Qual o valor máximo de ∆ y para que o bloco de baixo nunca perca contato com o chão? A resposta deve ser dada em termos de m , g e k .

Passo 1

Bom, na situação ( I ), o sistema está em equilíbrio. Porém, equilíbrio não significa que a mola esteja relaxada.

O que acontece é que a mola está comprimida o suficiente para exercer uma força elástica F → e l que consiga equilibrar a força peso P → do bloco de cima:

Na letra (a), queremos saber o quanto a mola está deformada para que esse bloco esteja em equilíbrio.

Como o bloco de cima está em equilíbrio:

P - F e l = 0

F e l = P

A força elástica é dada por k x ( x é a deformação da mola), enquanto a força peso é dada por m g :

k x = m g

Achamos então que a mola está comprimida de x 0 :

x 0 = m g k

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Na letra (b), queremos um diagrama de forças em cada um dos blocos na situação ( I ).

Bom, já esboçamos as forças sobre o bloco de cima no Passo 1, agora temos que esboçar as forças sobre o bloco de baixo.

No bloco de baixo, vai existir uma força peso P → para baixo, uma força normal N → que o chão exerce sobre o bloco para cima e uma força elástica F → e l da mola comprimida empurrando o bloco:

Passo 3

Na letra (c), queremos saber a altura h que o bloco de cima vai alcançar depois de ser solto.

Como a força elástica é variável conforme a deformação, esse sistema vai ser mais fácil de ser analisando através de energia.

A ideia vai ser calcular a energia que o sistema tem antes do bloco ser liberado e fazer a conservação da energia para a situação de altura máxima (energia se conserva pois tanto P → quanto F → e l são forças conservativas).

Passo 4

Qual é a energia do sistema quando a mola está comprimida ∆ y ?

Considerando um referencial de energia potencial gravitacional nulo nessa altura, a energia mecânica inicial E M 0 estará toda na forma de potencial elástica:

E M 0 = U e l

E M 0 = k x 2 2

Onde x é a nova deformação da mola.

Porém, muita atenção!

A mola não está comprimida apenas de ∆ y .

Essa distância ∆ y é a partir da posição de equilíbrio, onde a mola já está comprimida de x 0 .

Ou seja, agora a mola estará comprimida da soma dessas duas distâncias:

E M 0 = k x 0 + ∆ y 2 2

Passo 5

Já na situação final, a energia mecânica E M estará tanto na forma de potencial elástica U e l quanto na forma de potencial gravitacional U g associada à altura h .

Lembrando que a energia cinética é nula, pois no ponto de altura máxima a velocidade do bloco é zero.

E M = U e l + U g

E M = k x 2 2 + m g ∆ h

A deformação da mola é o quanto ela está esticada com relação à posição relaxada.

Porém, temos uma distância com relação à posição de equilíbrio (mola comprimida de x 0 ).

Então, temos que subtrair de h o quanto a mola estava comprimida x 0 para conseguir a real deformação da mola nesse ponto mais alto:

x = h - x 0

Então, a energia potencial elástica final será:

U e l = k h - x 0 2 2

Já a altura a altura ∆ h a partir do nosso referencial de potencial gravitacional nulo será a soma de ∆ y com h :

U g = m g ∆ y + h

Então, a energia mecânica final é:

E M = k h - x 0 2 2 + m g ∆ y + h

Passo 6

Conservando a energia mecânica, temos:

E M 0 = E M

k x 0 + ∆ y 2 2 = k h - x 0 2 2 + m g ∆ y + h

Queremos isolar h , então:

k x 0 2 + 2 x 0 ∆ y + ∆ y 2 2 = k h 2 - 2 h x 0 + x 0 2 2 + m g ∆ y + m g h

k x 0 2 2 + k x 0 ∆ y + k ∆ y 2 2 = k h 2 2 - k h x 0 + k x 0 2 2 + m g ∆ y + m g h

Os dois termos ( k x 0 2 / 2 )   se cancelam:

k x 0 ∆ y + k ∆ y 2 2 = k h 2 2 - k h x 0 + m g ∆ y + m g h

Isolando os temos com h do lado esquerdo, temos:

k h 2 2 - k h x 0 + m g h = k x 0 ∆ y + k ∆ y 2 2 - m g ∆ y

Podemos substituir o valor conhecido para x 0 :

k h 2 2 - k h m g k + m g h = k m g k ∆ y + k ∆ y 2 2 - m g ∆ y

k h 2 2 - m g h + m g h = m g ∆ y + k ∆ y 2 2 - m g ∆ y

Os termos " m g h " e os termos " m g ∆ y " se cancelam cada um com seu semelhante:

k h 2 2 = k ∆ y 2 2

Cortando k , achamos que h é:

h = ∆ y 2

h = ∆ y

Passo 7

Na letra (d), queremos saber qual o valor máximo de ∆ y para que o sistema não saia do chão.

Para isso, precisamos olhar novamente para as forças, porém agora num instante onde a mola esteja esticada para cima:

O que vai acontecer caso o sistema esteja na iminência de perder o contato com o chão?

A força normal chegará a zero, ou seja, o bloco de baixo estará prestes a sair do chão:

Passo 8

Assim, temos que a força elástica será igual à força peso:

F e l = P

k x = m g

Sendo a deformação da mola aquela mesma ideia que fizemos na letra (c).

x = h - x 0

Porém, também na letra (c), vimos que se a mola estiver comprimida de ∆ y a partir do equilíbrio, ela subirá uma altura h de mesmo valor:

h = ∆ y

Então, podemos deixar a deformação x da mola em função de ∆ y :

x = ∆ y - x 0

Passo 9

Substituindo isso na expressão das forças, temos:

k ∆ y - x 0 = m g

Substituindo o valor de x 0 , temos:

k ∆ y - k m g k = m g

k ∆ y - m g = m g

∆ y = 2 m g k

Esse é o valor que a mola pode ser comprimida a partir da posição de equilíbrio para que no movimento de subida, o sistema não perca contato com o chão.

Resposta

(a)

x 0 = m g k

(b)

(c)

h = ∆ y

(d) ∆ y = 2 m g k

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas