(Cap. 11.2 – Ex. 7) Calcule os oito primeiros termos da sequência de somas parciais corretas para quatro casas decimais. Parece que a série é convergente ou divergente?

∑ n = 1 ∞ 1 1 + n

Passo 1

Iae, meus queridos! Tudo certinho?

Então galera, essa questão quer que testemos nosso conceito sobre séries. Como assim? Uma série é dita divergente ou convergente se, e somente se, a sequência de somas parciais também for divergente ou convergente, respectivamente. A sequência que nos foi dada é essa aqui

s n = 1 1 + n

Agora vamos ter que calcular os oito primeiros termos da sequência de somas parciais.

Para n = 1 :

s 1 = a 1

Para n = 2 , teríamos:

s 2 = s 1 + a 2

Repara que é sempre a soma com o termo anterior, seguindo teríamos:

s 3 = s 2 + a 3

s 8 = s 7 + a 8

Passo 2

Vamos substituir n por 1 para calcular a 1 , por 2 para calcular a a 2 e assim por diante

Calculando os termos da sequência

Para s 1 , temos

s 1 = a 1 = 1 1 + 1 → s 1 = 0,5

Para s 2 , temos

s 2 = s 1 + a 2

s 2 = 0,5 + 1 1 + 2 → s 2 = 0,9142

Para s 3 , temos

s 3 = s 2 + a 3

s 3 = 0,9142 + 1 1 + 3 → s 3 = 1,2802

Para s 4 , temos

s 4 = s 3 + a 4

s 4 = 1,2802 + 1 1 + 4 → s 4 = 1,6135

Para s 5 , temos

s 5 = s 4 + a 5

s 5 = 1,6135 + 1 1 + 5 → s 5 = 1,9225

Para s 6 , temos

s 6 = s 5 + a 6

s 6 = 1,9225 + 1 1 + 6 → s 6 = 2,2124

Para s 7 , temos

s 7 = s 6 + a 7

s 7 = 2,2124 + 1 1 + 7 → s 7 = 2,4867

Por fim, para s 8 , temos

s 8 = s 7 + a 8

s 8 = 2,4867 + 1 1 + 8 → s 8 = 2,7479

Podemos notar que a sequência não está tendendo para um valor específico, não é mesmo? A cada termo que calculamos o valor da sequência muda. Sendo assim, a conclusão é de que a série está divergindo, ou seja, não está tendendo para um valor específico. Em outras palavras, a série divergente.

Graficamente vemos que a os pontos se distanciam muito lentamente de uma reta tangente à curva que liga os dois primeiros pontos

Isso é outro indício que a série diverge.

Iae, entendeu tudo? Responde Aí 😎👍

Bora praticar mais!

Resposta

∑ n = 1 ∞ 1 1 + n   é   d i v e r g e n t e

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