Sabendo que ∑ n = 1 ∞ n r n - 1 = 1 1 - r 2 se r < 1 , calcule a soma da série ∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) ( n + 2 ) 2 n

Sugestão: use que ∑ n = 0 ∞ x n + 2 n = ∑ n = 0 ∞ n + 1 n + 2 x n

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa série aqui

∑ n = 0 ∞ n + 1 n + 2 2 n

E pediu para dizermos qual é seu valor!

Mas como assim? Calma! O problema nos deu essa série aqui

∑ n = 1 ∞ n r n - 1 = 1 1 - r 2

Ela é a derivada da série harmônica!

∑ n = 0 ∞ r n = 1 1 - r

Notou que o índice do somatório pulou pra 1 quando derivou? Pois é! É esse truque sujo que vamos usar!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

A série para comparação dada foi essa aqui

∑ n = 1 ∞ n r n - 1 = 1 1 - r 2

A nossa série tem a multiplicação de dois termos em n , então para forçar esse segundo termo multiplicativo aparecer, vamos derivar dos dois lados essa expressão

∑ n = 2 ∞ n n - 1 r n - 2 = 2 1 - r 3

Beleza até aqui?

Notou que o índice pulou para 2 , isso porque antes disso ficaríamos com expoente negativo em x , e isso não pode acontecer em uma série de potências.

Agora vem nosso truque sujo! Vamos retornar nossa série para começar no índice n = 0 . Mas como fazer isso???

Fazendo oras! Precisamos que desapareça o 2 do lado direito do começo do somatório, então vamos trocar o lado direito

n → n + 2

∑ n + 2 = 2 ∞ ( n + 2 ) ( n + 2 ) - 1 r ( n + 2 ) - 2

E agora? Agora é só resolver

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) n + 1 r n = 2 1 - r 3

Beleza?

Agora é #partiu fazer a correspondência com nossa série!

Passo 3

Nossa série que precisamos encontrar o valor é

∑ n = 0 ∞ n + 1 n + 2 2 n

E se fizermos r = 1 / 2 na série do passo 2, não vamos ter a mesma coisa?

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) n + 1 r n = ∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 1 2 n = ∑ n = 0 ∞ n + 1 n + 2 2 n

Vamos! Então agora que sabemos quanto vale r , podemos substituir na forma analítica da nossa série e determinar o valor dela

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) n + 1 r n = 2 1 - r 3

Fazendo r = 1 / 2

2 1 - 1 2 3 = 2 1 2 3 = 2 4

= 16

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

16

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