Obtenha os quatro primeiros termos da série binomial relativa a seguinte função:

g ( x ) = ( 1 - 2 x ) 1 / 3

Passo 1

Eaew, tudo bem?

O enunciado nos dá a seguinte função

g ( x ) = ( 1 - 2 x ) 1 / 3

e pede para encontrarmos os quatro primeiros termos da série binomial! Bem… o que podemos fazer aqui é usar a expansão binomial conhecida como

( 1 + x ) n = 1 + n x + n ( n - 1 ) 2 ! x 2 + n ( n - 1 ) ( n - 2 ) 3 ! x 3 + . . .

a expressão acima pode ser demonstrada usando a definição de série binomial, mas o ponto deste problema não é esse! Qualquer coisa dá uma olhadinha no conteúdo do site, belezinha? Vamos aplicar o método para a nossa função! Saca só!

Passo 2

O segredo é reescrever a expansão binomial para o nosso caso específico, note que nem nosso caso, temos que ao invés de x , temos - 2 x e que n = 1 / 3 , portanto, a nossa expansão se torna

( 1 - 2 x ) 1 / 3 = 1 + 1 3 ( - 2 x ) + ( 1 / 3 ) ( 1 / 3 - 1 ) 2 ! ( - 2 x ) 2 + ( 1 / 3 ) ( 1 / 3 - 1 ) ( 1 / 3 - 2 ) 3 ! ( - 2 x ) 3 + . . .

Fazendo os MMC necessários e realizando os produtos dos coeficientes, temos que

( 1 - 2 x ) 1 / 3 = 1 - 2 3 x - 4 9 x 2 - 40 81 x 3 + . . .

Aí está! Bem simples não é? Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

( 1 - 2 x ) 1 / 3 = 1 - 2 3 x - 4 9 x 2 - 40 81 x 3 + . . .

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