Sabendo que ∑ n = 1 ∞ n r n - 1 = 1 1 - r 2 se r < 1 , calcule a soma da série ∑ n = 1 ∞ n 2 n - 1

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa série aqui

∑ n = 1 ∞ n 2 n - 1

E pediu para dizermos qual é seu valor!

Mas como assim? Calma! O problema nos deu essa série aqui

∑ n = 1 ∞ n r n - 1 = 1 1 - r 2

Notou alguma semelhança entre elas? Sim né! Mas não estão exatamente iguais... então nossa missão é manipular essas séries para que tenhamos uma correspondência idêntica entre elas! Com isso, vamos ter a forma analítica da série e assim podemos calcular de forma bem tranquila a soma da série que o problema perguntou

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

A série para comparação dada foi essa aqui

∑ n = 1 ∞ n r n - 1 = 1 1 - r 2

A nossa série é essa aqui

∑ n = 1 ∞ n 2 n - 1

Podemos rescrever ela assim

∑ n = 1 ∞ n .   1 2 n - 1

Beleza até aqui?

Agora que temos uma correspondência exata para r = 1 / 2 , podemos calcular o valor da nossa série!

Passo 3

Nossa série que precisamos encontrar o valor é

∑ n = 1 ∞ n 2 n - 1

E se fizermos r = 1 / 2 na série do passo 2, não vamos ter a mesma coisa?

∑ n = 1 ∞ n .   1 2 n - 1 = 1 1 - 1 2 2 = 1 1 4

∑ n = 1 ∞ n 2 n - 1 = 4

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

4

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