Sabendo que ∑ n = 1 ∞ n r n - 1 = 1 1 - r 2 se r < 1 , calcule a soma da série ∑ n = 1 ∞ n - 1 2 2 n - 1

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa série aqui

∑ n = 1 ∞ n - 1 2 2 n - 1

Podemos rescrever ela a partir de n = 0 , trocando tudo que tem n por n + 1 :

∑ n + 1 = 1 ∞ n + 1 - 1 2 2 n + 1 - 1 = ∑ n = 0 ∞ n 2 2 n

Então nosso problema agora virou determinar o valor dessa série aí!

O problema pediu para dizermos o valor dela, mas para isso precisamos de uma forma analítica, uma função que represente ela... e o problema deu isso aqui

∑ n = 1 ∞ n r n - 1 = 1 1 - r 2

Mas como assim comparar essas duas séries?

Calma! Vamos organizar a série que temos, separando aquele r n - 1

∑ n = 1 ∞ n r n r = 1 1 - r 2

E passando lá para o outro lado

∑ n = 1 ∞ n r n = r 1 - r 2

A ideia é manipular esse somatório para termos uma correspondência dessa expressão com a série dada! Assim vamos ter uma expressão analítica, em termos de r , que vamos conseguir calcular o valor exato dessa série!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

A série dada para comparação foi essa aqui

∑ n = 1 ∞ n r n = r 1 - r 2

A série que precisamos encontrar a forma analítica é essa aqui

∑ n = 0 ∞ n 2 2 n

Então precisamos que apareça um n 2 na série que vamos comparar, e por isso vamos derivar! Derivando aquele expoente n vai cair multiplicando e do outro lado vamos derivar também!

Derivando dos dois lados temos o seguinte

∑ n = 1 ∞ n r n = r 1 - r 2

∑ n = 1 ∞ n . n . r n - 1 = 1 - r 2 - 2 1 - r . - 1 . r 1 - r 4

Separando novamente r n - 1 = r n r - 1 e passando r - 1 para o outro lado:

∑ n = 0 ∞ n 2 r n = r 1 - r 2 + 2 r 1 - r 1 - r 4

Beleza?

Agora é #partiu comparar com a série que precisamos achar o valor!

Passo 3

Nossa missão agora é encontrar a forma analítica na nossa série

∑ n = 0 ∞ n 2 2 n

Temos uma correspondência mto boa

∑ n = 0 ∞ n 2 r n = r 1 - r 2 + 2 r 1 - r 1 - r 4

Fazendo r = 1 2 !

Então agora que temos a forma analítica, é só substituir r = 1 2 e calcular o valor da série!

∑ n = 0 ∞ n 2 2 n = 1 2 1 - 1 2 2 + 2 . 1 2 1 - 1 2 1 - 1 / 2 4 = 6

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

6

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