3) Considere que um feixe de luz com intensidade I incide sobre dois semi-espelhos, no sentido de que cada um deles reflete exatamente 50 % da intensidade incidente e transmite os demais 50 % . Qual é a intensidade da luz que atravessa os dois semi-espelhos?

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Imagine a seguinte situação nesse problema... temos uma lanterna com intensidade I e dois semi-espelhos paralelos entre si que cada um deles é feito para deixar 50 % atravessar e refletir os outros 50 % .

A partir daí, queremos saber qual é a intensidade da luz I que atravessa os dois espelhos?

E aí, como fazemos isso? 🤔

Podemos pensar “é fácil, é só considerar I / 2 que passa no primeiro espelho e depois I / 4 que passa pelo segundo espelho”.

Sim isso realmente acontece, porém, quando a luz passa no segundo espelho, 50 % é refletido e vai em direção ao primeiro espelho, onde 50 % é refletido novamente e volta no segundo espelho e assim sucessivamente...

Agora ficou um pouco mais complicado, não é? 👀

Passo 2

Temos que escrever esse problema em forma de sequência, pois é o que está acontecendo.

No primeiro momento, a intensidade que passa pelo segundo espelho é dada por I / 4 . Ou seja

a 1 = I 4

Depois, I / 4 é refletido para o primeiro espelho, que retorna I / 8 e que passa I / 16

a 2 = I 16

Em cada interação com a luz no segundo espelho, a luz realiza duas outras interações de reflexão e travessia, ou seja, podemos perceber que a sequência segue uma progressão geométrica

a n = 1 x n

Podemos obter o valor de x comparando com o termo a 1

a 1 = 1 x 1 = 1 4

x = 4

Portanto, nossa sequência é dada por a n = 1 4 n

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Queremos saber qual é a intensidade de luz que atravessa, então queremos saber

∑ n = 1 ∞ 1 4 n

Podemos reescrever essa série como

∑ n = 1 ∞ 1 4 n = ∑ n = 0 ∞ 1 4 n - 1

Assim, aplicando a formulinha da soma das series geométricas

S = a 0 1 - q

Podemos obter o resultado que buscamos.

Tivemos que fazer essa mudança na série pois a formulinha só funciona para séries que começam em n = 0 ...

Obtendo a razão q , temos

q = a 1 a 0 = 1 4 1

q = 1 4

Substituindo na fórmula S .

S = 1 1 - 1 4 = 1 3 4

S = 4 3

Portanto, ∑ n = 1 ∞ 1 4 n é dado por

∑ n = 1 ∞ 1 4 n = ∑ n = 0 ∞ 1 4 n - 1

∑ n = 1 ∞ 1 4 n = 4 3 - 1

∑ n = 1 ∞ 1 4 n = 1 3

Então a intensidade de luz que passa pelo segundo espelho é 1 / 3 da intensidade inicial I

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

I 3

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Encontre uma fórmula para o termo geral a n da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue. 5 ,1 ,5 ,1 ,5 ,1 ,…
Liste os cinco primeiros termos da sequência.a_1 = 3 , a_n + 1 = 2 a_n - 1