Suponha que para todo k ∈ N temos a k ∈ { 0 , … , 9 } e considere a sequência de termo geral

S n = ∑ k = 0 n a k 10 k

A sequencia S n é convergente ou divergente? Justifique.

Passo 1

A sequência ( S n ) é convergente.

Para entender por que, vamos considerar a natureza da sequência. Cada termo ( S n ) é uma soma finita da forma:

[ S n = a 0 10 0 + a 1 10 1 + a 2 10 2 + … + a n 10 n ]

Passo 2

O denominador de cada termo é uma potência crescente de 10, ou seja, ( 10 0 , 10 1 , 10 2 , … , 10 n ) . Conforme n aumenta, esses denominadores se tornam cada vez maiores. Além disso, você mencionou que cada ( a k ) está no intervalo de 0 a 9, ou seja, cada termo da sequência ( S n ) está limitado entre 0 e 1, pois o maior valor possível é ( 9 10 9 ) .

Isso significa que a sequência ( S n ) está estritamente limitada entre 0 e 1 para todos os ( n ) . Além disso, como os denominadores estão crescendo exponencialmente, a sequência está encolhendo à medida que mais termos são adicionados.

Resposta

Convergente

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