Justifique porque as sequências dadas pelos seguintes termos gerais convergem.

c) ∑ k = 0 n 1 k !

Passo 1

Para justificar a convergência da sequência dada pelo termo geral ( a n = ∑ k = 0 n 1 k ! ) , podemos utilizar o critério de convergência de séries chamado o critério de convergência de Cauchy.

O critério de convergência de Cauchy afirma que uma série infinita ( ∑ k = 0 ∞ a k ) converge se, para todo ( ε >   0 ) , existe um número natural ( N ) tal que, para todos os inteiros ( n   >   m   ≥ N ) , a soma dos termos entre ( m + 1 ) e ( n ) (ou seja, ( a m + 1 + a m + 2 + … + a n ) ) seja menor do que ( ε ) .

Agora, vamos aplicar o critério de convergência de Cauchy à série ( ∑ k = 0 ∞ 1 k ! ) :

Dado ( ε >   0 ) , queremos encontrar ( N ) tal que, para todos os inteiros ( n   >   m   ≥ N ) , tenhamos:

[ a m + 1 + a m + 2 + … + a n < ε ]

No nosso caso, ( a k = 1 k ! ) . Portanto, queremos:

[ 1 m + 1 ! + 1 m + 2 ! + … + 1 n ! < ε ]

Passo 2

Aqui, podemos usar a propriedade de convergência da série exponencial para simplificar. A série exponencial ( e x ) é dada por:

[ e x = ∑ k = 0 ∞ x k k ! ]

Se escolhermos ( x   =   1 ) , então temos:

[ e 1 = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! ]

Portanto, a série ( ∑ k = 0 ∞ 1 k ! ) converge para ( e ) .

Agora, para o critério de convergência de Cauchy, escolhemos ( N ) de modo que ( e - a 0 + a 1 + … + a N < ε ) . Isso nos garante que:

[ 1 m + 1 ! + 1 m + 2 ! + … + 1 n ! < ε ]

Assim, o critério de convergência de Cauchy é satisfeito, e podemos concluir que a série ( ∑ k = 0 ∞ 1 k ! ) converge.

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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