Exercícios Resolvidos de Introdução às Sequências

PUC-RJ - Cálculo 1 - P1 2010.1 - 2b

Considere a seguinte proposição

Se a n é uma sequência crescente, então a n é crescente.

  1. Decida se a proposição é verdadeira ou falsa
  2. Enuncie a recíproca e decida se a mesma é verdadeira ou falsa

Passo 1

b 1 )

Vamos começar olhando se a proposição é verdadeira, o que temos? Que a sequência é crescente certo? Mas o que diabos isso quer dizer?

Uma sequência crescente é aquela em que os termos são assim:

a 1 ≤ a 2 ≤ a 3 ≤ a 4 ≤ … ≤ a n

Queremos ver se a sequência a n é crescente, ou seja,

a 1 ≤ a 2 ≤ a 3 ≤ a 4 ≤ … ≤ a n

O que o módulo faz com cada termo? Ele tira o seu sinal certo? Mas quando estamos comparando números positivos não é a mesma coisa que comparar eles negativos, por exemplo:

- 2 < - 1

Enquanto, se pegarmos o módulo essa ordem vai mudar:

- 2 = 2 > - 1 = 1

Então basta pegarmos uma sequência que começa negativa e depois fica positiva que o seu módulo não vai ser crescente, por exemplo,

a n = n - 5

Os primeiros termos serão:

a 1 = - 4

a 2 = - 3

a 3 = - 2

a 4 = - 1

a 5 = 0

a 6 = 1

E por aí vai, esse carinha é crescente, mas se pegarmos o seu módulo a sequência vai ser:

a 1 = - 4 = 4

a 2 = - 3 = 3

a 3 = - 2 = 2

a 4 = - 1 = 1

a 5 = 0 = 0

a 6 = 1 = 1

E podemos ver facilmente que essa sequência de módulo não é crescente.

Logo, essa proposição é falsa.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b 2 )

Temos que ver como fica a recíproca

Se a n é uma sequência crescente, então a n é crescente.

Aqui tem um exemplo bem mais simples, lembra aquela ideia de mudar de sinal quando passa o módulo, se pegarmos a sequência:

a n = - n

Vamos ter:

a n = n

E essa sequência em módulo é crescente, só que fora do módulo é decrescente, logo essa recíproca também é falsa.

Sempre que ele perguntar se é verdadeiro ou falso alguma parada é bom ir olhando a lógica tentando entender a matemática, testar exemplos e depois definir, se for verdadeiro temos que mostrar porque, se for falso só dar um caso que aquela parada seja falsa é o suficiente.

Resposta

  1. Falso
  2. Falso

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