b) Dê um exemplo de duas sequências a n n e b n n tais que

lim n → ∞ ⁡ a n b n ≠ lim n → + ∞ ⁡ a n lim n → + ∞ ⁡ b n

Passo 1

Aqui está um exemplo de duas sequências a n e b n para as quais:

lim n → ∞ ⁡ a n b n ≠ lim n → + ∞ ⁡ a n lim n → + ∞ ⁡ b n

1. Sequência a n :

a n   =   - 1 n

Esta sequência alterna entre -1 e 1 à medida que n aumenta. Portanto, l i m n   →   ∞   a n não existe, pois a sequência não converge.

2. Sequência b n :

b n   =   - 1 n

Esta sequência também alterna entre -1 e 1 à medida que n aumenta e, assim como a sequência a n , l i m n   →   ∞   b n não existe.

Passo 2

Agora, vamos calcular o limite do produto das duas sequências:

l i m n   →   ∞   a n ∙   b n = l i m n   →   ∞ - 1 n ∙   - 1 n = l i m n   →   ∞   1   =   1

No entanto, o produto dos limites individuais das sequências não existe:

l i m n   →   ∞   a n ∙   ( l i m n   →   ∞ b n )   =   ( n ã o   e x i s t e )   *   ( n ã o   e x i s t e )   =   n ã o   e x i s t e

Portanto, neste exemplo, temos duas sequências a n   e   b n para as quais o limite do produto das sequências é 1, mas o produto dos limites individuais das sequências não existe, demonstrando assim que:

lim n → ∞ ⁡ a n b n ≠ lim n → + ∞ ⁡ a n lim n → + ∞ ⁡ b n

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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