( c ) Decida se a proposição abaixo é verdadeira ou falsa:

S e   a n → ∞   e   b n → 0   e n t ã o a n b n → ∞ .

( d ) Enuncie a recíproca da proposição do item ( c ) e decida se ela é verdadeira ou falsa.

Passo 1

Para a n → ∞ temos que os valores de a n explodem para valores positivos. Com b n não sabemos com certeza se ele se aproxima de a n por valores positivos ou negativos, o que pode influenciar o sinal do quociente a n / b n e leva-lo para - ∞ ao invés de . Está muito teórico e abstrato, vou ilustrar isso com um exemplo. Se eu escolhesse as seguintes sequências:

a n = n ;   a n → ∞

b n = - 1 n ;     b n → 0

Nesse caso, por mais que b n seja sempre negativo ele vai se aproximar para 0 . Agora vamos observar como se comportaria o quociente das sequências:

a n b n = n - 1 n = - n 2

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ - n 2

= - ∞

Assim, provamos que a afirmação não é verdadeira para todos os casos.

Passo 2

( d ) Vamos enunciar a recíproca:

S e   a n b n → ∞   e n t ã o   a n → ∞   e   b n → 0

Ora, a hipótese a n b n → ∞ não pede que b n vá para 0 ou a n para , ela só pede que a n “cresça mais rápido” que b n . Quer um exemplo? Digamos que a n = n 2 e b n = n . A hipótese valeria assim:

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ n 2 n

= lim n → ∞ ⁡ n

= ∞

Porém, teríamos da mesma maneira que a n → ∞ e b n → ∞ . Logo, concluímos que a afirmação é falsa!

Resposta

c   F a l s a .

d   F a l s a .

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