Exercícios Resolvidos de Pontos Críticos de Funções de Várias Variáveis

Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Máximos e Mínimos, Plano Tangente e Reta Normal, Curvas Parametrizadas, Reta Tangente e Plano Normal

Considere a função f x , y = x 2 - 2 x y + y 3 - y .

  1. Calcule o vetor gradiente de f .
  2. Encontre os pontos críticos de f
  3. Encontre os pontos do gráfico de f onde o plano tangente é paralelo ao plano x y .
  4. Escreva a aproximação linear L x , y de f no ponto 1,2
  5. Determine apenas um ponto do gráfico de f onde a reta normal é paralela ao vetor 1 , - 1 , 1 2 . Dica: uma reta r é normal ao gráfico de uma função no ponto P do gráfico se a reta passa por este ponto e se o vetor diretor da reta é paralelo ao vetor normal de f em P .
  6. Considere a curva de nível C : x 2 - 2 x y + y 3 - y = 3 . Exiba a equação paramétrica da reta tangente γ a C no ponto 1 , - 1 .

Passo 1

a)

Essa é pra começar bem! Encontrar vetor gradiente? Apenas derivar a função em relação a cada variável e formar o vetor gradiente:

f x , y = x 2 - 2 x y + y 3 - y

Derivando em relação a x , tratando y como constante, teremos:

f x x , y = 2 x - 2 y

Derivando em relação a y , tratando x como constante, teremos:

f x , y = - 2 x + 3 y 2 - 1

E agora é só colocara derivada em relação a x como primeira coordenada do vetor gradiente, e a em relação a y como segunda:

∇ f x , y = 2 x - 2 y ,   - 2 x + 3 y 2 - 1

E pronto, fechamos a letra a :D

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) Agora que temos o vetor gradiente, para encontrar os pontos críticos basta igualá-lo a 0,0 !

Ou seja,

∇ f x , y = 2 x - 2 y ,   - 2 x + 3 y 2 - 1 = 0,0

Logo,

2 x - 2 y = 0 - 2 x + 3 y 2 - 1 = 0

Passo 3

Só precisamos resolver o sistema e teremos os pontos críticos! Pela equação de cima, vemos que:

2 x - 2 y = 0

x = y

Show? Agora é pegar essa relação e jogar na equação de baixo. Se trocarmos todo y que aparecer por x , teremos:

- 2 x + 3 y 2 - 1 = 0

3 x 2 - 2 x - 1 = 0

E, resolvendo essa equação do segundo grau, temos:

x = 2 ± 4 - 4.3 . - 1 2.3

x = 2 ± 4 6

Logo, ou x = 1 , ou x = - 1 3

Como pela primeira relação temos que x = y , então os pontos críticos são 1,1 e - 1 3 ,   - 1 3 .

E letra b fechada!

Passo 4

c) Pensa comigo, o que significa o plano tangente ao gráfico de f ser paralelo ao plano O x y ? Significa que todos os vetores tangentes a superfície nesse ponto, que formam o plano tangente, tem derivadas em relação a x e em relação a y iguais a 0 , por estão na horizontal, certo? Isso não é exatamente o que fizemos no passo anterior? Igualamos as derivadas parciais a 0   e descobrimos os pontos críticos!

Então já sabemos que as coordenadas x e y dos pontos de tangência desses planos são 1,1 e - 1 3 ,   - 1 3 .

Passo 5

Agora temos que ver o valor da função para esses pontos, que vão fornecer a coordenada z dos pontos.

Para o ponto 1,1 , temos:

f x , y = x 2 - 2 x y + y 3 - y

f 1,1 = 1 2 - 2.1 . 1 + 1 3 - 1 = - 1

E o ponto de tangência é 1,1 , - 1

Para o ponto - 1 3 ,   - 1 3 , temos:

f x , y = - 1 3 2 - 2 . - 1 3 . - 1 3 + - 1 3 3 - - 1 3 = 5 27  

E o ponto de tangência é - 1 3 ,   - 1 3 , 5 27

Passo 6

d) Aproximação linear? É só um nome bonito para Plano Tangente...

Ok, já temos o vetor gradiente da função, que é:

∇ f x , y = 2 x - 2 y ,   - 2 x + 3 y 2 - 1

Para o ponto 1,2 , o valor do vetor é:

∇ f 1,2 = 2.1 - 2.2 ,   - 2.1 + 3 . 2 2 - 1

∇ f 1,2 = - 2 ,   9

Aí você chega e pergunta: mas Patusco, por que o vetor só tem duas coordenadas? Não era pra ter 3 ? Isso mesmo! Normalmente, quando a função está na forma explícita (que é esse tipo, f x , y , com apenas duas variáveis) a terceira coordenada do vetor gradiente vale - 1 .

Isso acontece porque a função pega duas coordenadas e leva num terceiro valor, ela é do tipo R 2 → R . Então, podemos dizer que:

f x , y = z

mas também

f x , y = x 2 - 2 x y + y 3 - y

E, então,

F x , y , z = f x , y - z = 0

Substituindo f x , y pela sua expressão em função de x e y , temos:

F x , y , z = x 2 - 2 x y + y 3 - y - z

Show? Agora vemos que, derivando essa função em relação a z , temos F z x , y , z = - 1 . E as derivadas em relação a x e a y são exatamente as mesmas que as de f x , y , pois a única diferença entre F x , y , z e f x , y é essa – z que aparecer!

Espero não ter ficado muita informação de uma vez só, mas depois de tudo isso, podemos dizer que o vetor gradiente da superfície é:

∇ F x , y , z = - 2,9 , - 1

Passo 7

Agora que temos o vetor gradiente, temos que encontrar a terceira coordenada do ponto 1,2 da superfície! Colocando esse ponto em f x , y , temos:

f 1,2 = 1 2 - 2.1 . 2 + 2 3 - 2 = 3

E o ponto de tangência é 1,2 , 3 :)

Passo 8

Temos o ponto de tangência e o vetor normal a esse ponto, que é o vetor gradiente. Então, temos tudo! Só pensar agora que esse vetor normal é perpendicular a todos os vetores do plano tangente, ou seja, o produto escalar entre o vetor gradiente e todo vetor do plano é 0 !

Podemos representar esse “conjunto de vetores” do plano de maneira genérica, dizendo que eles partem do ponto de tangência, 1,2 , 3 , e vão até outro ponto, x , y , z . Então, temos que fazer o produto escalar entre o vetor gradiente e o vetor x - 1 , y - 2 , z - 3 e igualar a 0 :

- 2,9 , - 1 . x - 1 , y - 2 , z - 3 = 0

Desenvolvendo o produto escalar, temos:

- 2 x + 2 + 9 y - 18 - z + 3 = 0

Passando todas constantes para o lado direito, temos:

- 2 x + 9 y - z = 13

E aí está a linearização da nossa função :D

Passo 9

e) Vamos interpretar a missão: temos um ponto, digamos, x 0 , y 0 , z 0 da superfície formada por f x , y . Em tal ponto, a reta normal à superfície é paralela ao vetor 1 , - 1 , 1 2   . Bom, se a reta é paralela a esse vetor, então seu vetor diretor também é paralelo! E mais, se ele são paralelos, então podemos dizer que um é múltiplo do outro.

E qual é esse vetor normal à superfície? É o próprio vetor gradiente, lembra!? E, como já calculamos, o vetor é:

∇ F x , y , z = 2 x - 2 y ,   - 2 x + 3 y 2 - 1 , - 1

Se ele é múltiplo do vetor 1 , - 1 , 1 2 , então,

2 x - 2 y ,   - 2 x + 3 y 2 - 1 , - 1 = k . 1 , - 1 , 1 2

Passo 10

Igualando as terceiras coordenadas, temos direto o valor de k :

- 1 = k . 1 2

k = - 2

Agora que sabemos o valor de k , só jogar nas primeira e segunda coordenadas igualadas de cada vetor:

2 x - 2 y = - 2.1 - 2 x + 3 y 2 - 1 = - 2 . - 1

Da primeira equação, temos que:

2 x - 2 y = - 2

x = y - 1

Jogando esse valor de x na segunda equação, temos:

- 2 y - 1 + 3 y 2 - 1 = 2

3 y 2 - 2 y - 1 = 0

E pela equação do segundo grau,

y = 2 ± 4 - 4.3 . - 1 2.3

y = 2 ± 4 6

E aí temos que ou y = - 1 3 , ou y = 1 .

Passo 11

Como o enunciado pede pra determinar apenas um ponto (acho que é pra sobrar mais tempo de prova... se alguém percebeu se tem algum outro motivo avisa XD), então vamos fazer o caminho de volta, jogando, por exemplo, y = 1 na primeira equação:

2 x - 2 y = - 2

2 x - 2 = - 2

x = 0

E um dos pontos é 0,1 , f 0,1 . Só pra tirar esse f 0,1 feio daí, vamos substituir na equação pra descobrir a terceira coordenada z :

f 0,1 = 0 2 - 2.0 . 1 + 1 3 - 1 = 0

E aí está, nosso ponto é 0,1 , 0 :D

Passo 12

f) Aguenta firme! Essa é a última! E é bem rápida de fazer, considerando que já temos tudo na mão... Vamos lá, estão nos pedindo pra calcular a reta tangente à C no ponto 1 , - 1 , sendo C uma curva de nível de f x , y , certo? Então, encontraremos uma equação paramétrica para essa tangente dizendo que ela é perpendicular ao vetor gradiente de f x , y nesse mesmo ponto!

Show, vamos ver então qual é o vetor gradiente em 1 , - 1 ?

∇ f 1 , - 1 = 2.1 - 2 . - 1 ,   - 2.1 + 3 - 1 2 - 1

∇ f 1 , - 1 = 4,0

E, como esse vetor é perpendicular à superfície no ponto 1 , - 1 , com certeza é perpendicular à curva C , que está na superfície!

Passo 13

Agora vem uma manha de vetores, que lembro que usei quando fiz o vestibular da PUC: para girar um vetor em 90 ° , inverte as coordenadas do vetor, pega o resultado e muda o sinal da primeira.

Tá, e pra que falei isso? Porque se o vetor 4,0 é perpendicular à curva, então o vetor perpendicular a ele será tangente à curva! É tipo pensar que o inimigo do seu inimigo é seu amigo XD

Então, girando o vetor 4,0 em 90 ° , temos o vetor - 0,4 . Coloquei esse menos aí na frente do 0 pra você lembrar de trocar o sinal da primeira coordenada depois de ter invertido o vetor! Isso é bem importante! E aí conseguimos um vetor que é tangente à curva, e pode ser o vetor diretor da nossa reta tangente!

Tomando o vetor 0,4 como vetor diretor, tudo o que temos que fazer é multiplicá-lo por um parâmetro t e transladá-lo para o ponto de tangência:

r t = 0,4 . t + 1 , - 1

r t = 1,4 t - 1

Resposta

  1. O vetor gradiente é ∇ f x , y = 2 x - 2 y ,   - 2 x + 3 y 2 - 1
  2. Os pontos críticos são 1,1 e - 1 3 ,   - 1 3
  3. Os pontos de tangência são 1,1 , - 1 e - 1 3 ,   - 1 3 , 5 27
  4. Linearização da função: - 2 x + 9 y - z = 13
  5. Ponto: 0,1 , 0
  6. Reta tangente: r t = 1,4 t - 1

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