Exercícios Resolvidos de Pontos Críticos de Funções de Várias Variáveis

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, exemplo 4.4, p.131 (modificado)

Seja f x , y = 1 - x 2 + 4 x y - y 2 . Identifique o(s) ponto(s) crítico(s) de f .

Passo 1

Calcular gradiente:

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

⇒ ∇ f x , y = - 2 x + 4 y ,   4 x - 2 y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Encontrar pontos críticos:

∇ f = 0 →

⇒ - 2 x + 4 y ,   4 x - 2 y = 0,0

Passo 3

Igualando as coordenadas:

- 2 x + 4 y = 0   4 x - 2 y = 0

Colocando em evidência:

- x + 2 y = 0   2 x - y = 0

Pela segunda equação:

y = 2 x

Substituindo na primeira equação:

- x + 2 2 x = 0

⇒ x = 0

Pela segunda equação novamente:

y = 0

Então:

x = 0   y = 0

Então o único ponto crítico é 0,0 .

Resposta

A função tem um ponto crítico em 0,0 .

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