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Exercícios Resolvidos de Pontos Críticos de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Considere a função

f x , y = x y e x y

Encontre todos os pontos críticos da função f ( x , y ) , determinando o conjunto de pontos críticos de f .

Passo 1

Para encontrar os pontos críticos de f , precisamos encontrar suas derivadas parciais e igualá-las a zero. Assim

Pela regra do produto e da cadeia:

f x = y e x y + x y e x y . y = y e x y 1 + x y

f y = x e x y + x y e x y . x = x e x y 1 + x y

Passo 2

Fazendo cada uma delas ser igual a zero, temos:

Para f x :

f x = y e x y 1 + x y = 0

Para que isso seja verdade,

y = 0

Ou

1 + x y = 0   ⟷ y = - 1 x

Porque e x y ≠ 0 independente dos valores de x e y .

Para f y :

f y = x e x y 1 + x y = 0

Isso só é verdade se

x = 0

Ou

1 + x y = 0   ⟷ y = - 1 x

Porque e x y ≠ 0 independente dos valores de x e y .

Passo 3

Assim, vemos que f x , f y = ( 0,0 ) se

x = 0

y = 0

E

y = - 1 x

De modo que o conjunto de pontos críticos de f é

C = x , y ∈ R 2     y = - 1 x   }   ⋃   { ( 0,0 ) }  

Resposta

C = x , y ∈ R 2     y = - 1 x   }   ⋃   { ( 0,0 ) }  

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