Exercícios Resolvidos de Pontos Críticos de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:

a. z   =   2 x 2 + x y   +   3 y 2 + 10 x − 9 y + 11  

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que encontrar os pontos críticos de

  f ( x ,   y )   = 2 x 2 + x y   +   3 y 2 + 10 x − 9 y + 11   .

Então, vamos encontrar os pontos críticos verificando para quais pontos ∇ f ( x ,   y )   = 0 . E para classificar esses pontos críticos, vamos olhar para o determinante hessiano nos pontos críticos P 0 encontrados:

H ( P 0 ) = f x x ( P 0 ) f y y ( P 0 ) - f x y ( P 0 ) f y x ( P 0 )

temos os seguintes critérios:

H ( P 0 ) > 0 e f x x > 0 : P 0 é ponto de mínimo;

H ( P 0 ) > 0 e f x x < 0 : P 0 é ponto de máximo;

H ( P 0 ) < 0 : P 0 é ponto de sela;

H ( P 0 ) = 0 : indeterminado.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos tomar as derivadas parciais com relação a x e a y da função e igualar a zero:

∂ x f ( x , y ) = f x = 4 x + y + 10 = 0

∂ y f ( x , y ) = f y = x + 6 y - 9 = 0

Temos de f y que:

x = 9 - 6 y

substituindo em f x ,

4 ( 9 - 6 y ) + y + 10 = 0

y = 46 23 = 2 , e x = 9 - 6 ( 2 ) = - 3 .

Assim, o ponto crítico é:

P 0 = ( x 0 ,   y 0 ) = ( - 3 ,   2 ) .

Passo 3

Vamos calcular as segundas derivadas, para calcular o determinante hessiano:

f x x = 4 ;

f y y = 6 ;

f x y = 1 ;

f y x = 1 .

vamos olhar para o determinante hessiano:

H ( - 3 ,   2 ) = f x x f y y - f x y f y x = 24 - 1 = 23 > 0

temos que H ( - 3 ,   2 ) > 0 e f x x > 0 , então P 0 = ( - 3 ,   2 ) é um ponto de mínimo.

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

P 0 = ( - 3 ,   2 ) , ponto de mínimo.

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