Exercícios Resolvidos de Pontos Críticos de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Considere a integral dupla:

∫ 0 π ∫ x π s e n   y y   d y d x

Desenhe a região de integração, e inverta a ordem da integral. Resolva a integral (você pode escolher qual integral resolver: a dada nos exercícios ou a obtida pela inversão na ordem de integração).

Passo 1

Opa meus queridos, bora pra mais uma? Aqui a coisa mais importante é sabermos qual é a região de integração. Pois quando invertemos a ordem de integração precisamos saber como vai ficar o sentido da integral (porque precisamos inverter o sentido também). Pelos limites de integração você sabe achar as retas que delimitam a área? Vem que eu te mostro. Nesse caso a região de integração é um triangulo formato pelas retas x = y ,   y = π   e   x = 0 .

Essas setas laranjas são justamente o sentido de integração.

Passo 2

Show, bora continuar. Invertendo o sentido de integração, como a questão pede:

Então nossa integral fica:

∫ 0 π ∫ x π s e n   y y   d y d x →   ∫ 0 π ∫ 0 y s e n   y y   d x d y

Agora é só resolver a integral. Essa primeira já sai bem fácil, pois como invertemos o sentido de integração, s e n   y y pode ser considerada como uma “constante”, já que agora integraremos ela em d x . Dessa forma:

∫ 0 π ∫ 0 y s e n   y y   d x d y = ∫ 0 π s e n   y y   x 0 y d y

= ∫ 0 π s e n   y   d y

=   - cos ⁡ x ​ 0 π

= 2

Então aquele ponto é um ponto de sela. Como nosso determinante é - 1 , então P n é um ponto de sela. E é isso turminha! Finalizamos por aqui 😊. Se ainda restou alguma dúvida, ou gostaria de relatar alguma coisa, manda um feedback pra gente! Vamos adorar te responder, vai se rapidinho

Resposta

= 2

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