Exercícios Resolvidos de Pontos Críticos de Funções de Várias Variáveis

Cálculo 2 UFRJ, P2 2014.2, questão 4

Suponha que a função f ( x , y , z ) tem um ponto crítico em ( x 0 , y 0 , z 0 ) no espaço. Se a > 0 e b > 0 são números reais positivos, então a função g x , y , z = a f x , y , z + b tem um ponto crítico em

(a) x 0 , y 0 , z 0

(b) a ( x 0 , y 0 , z 0 )

(c) 1 a ( x 0 , y 0 , z 0 )

(d) a x 0 , y 0 , z 0 + b

(e) a informação é insuficiente

Passo 1

Essa é uma questão mais teórica, mas você vai ver que não tem mistério!

( x 0 , y 0 , z 0 ) é um ponto crítico de f , ou seja nesse ponto as derivadas parciais se anulam, ou uma delas não existe, certo?

Vamos primeiro considerar que as derivadas parciais valem zero:

∇ f x 0 , y 0 , z 0 = ( 0,0 , 0 )

Agora vamos dar uma olhada na função g :

g x , y , z = a f x , y , z + b

Repare que as derivadas parciais da g são as derivadas parciais da f multiplicando a ! O b , constante, some. Pelas regras básicas de derivação, temos:

∂ g ∂ x x , y , z = a . ∂ f ∂ x x , y , z + 0

∂ g ∂ y x , y , z = a . ∂ f ∂ y x , y , z + 0

∂ g ∂ z x , y , z = a . ∂ f ∂ z x , y , z + 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

E no ponto x 0 , y 0 , z 0 as derivadas parciais da f são todas iguais a zero né?? Ótimo, então elas também vão ser zero pra g :

∂ g ∂ x x , y , z = a . 0 = 0

∂ g ∂ y x , y , z = a . 0 = 0

∂ g ∂ z x , y , z = a . 0 = 0

Então nesse caso o ponto ( x 0 , y 0 , z 0 ) também é um ponto crítico da g !

Passo 3

Agora vamos ver o caso em que x 0 ,   y 0 ,   z 0 é um ponto crítico da f porque uma das derivadas parciais não existe.

Quando dizemos que a derivada parcial não existe é porque ela não é definida nesse ponto. Vamos supor, por exemplo, que a derivada parcial de f em relação a x não existe. E, como já vimos:

∂ g ∂ x x , y , z = a . ∂ f ∂ x x , y , z + 0

Ou seja:

" ∂ g ∂ x x , y , z = a . ( n ã o   e x i s t e ) "

A ∂ g ∂ x x , y , z só é a ∂ f ∂ x x , y , z multiplicada por uma constante, então ela também não existe!

Portanto, em qualquer um dos casos o ponto x 0 ,   y 0 ,   z 0 é ponto crítico da g .

Resposta

Alternativa (a)

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