Exercícios Resolvidos de Pontos Críticos de Funções de Várias Variáveis

Dada a função f x , y = 2 x y - x 3 3 - y 2 + 15 x , determine os seus pontos críticos e classifique-os.

Passo 1

Pra encontrarmos os pontos críticos temos que lembrar que esses pontos são os pontos x , y onde o gradiente ∇ f x , y = 0,0 .

Então vamos encontrar essas derivadas aí

∂ f ∂ x x , y = 2 y - x 2 + 15 = 0 ∂ f ∂ y x , y = 2 x - 2 y = 0

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Passo 2

Da segunda equação encontramos

2 x - 2 y = 0

x = y

Usando isso na primeira equação temos

x 2 - 2 x - 15 = x + 3 x - 5 = 0

Logo

x = - 3   o u   x = 5

Então temos que os pontos críticos sçao - 3 , - 3 e   ( 5,5 ) .

Bem tranquilo, né?

Passo 3

Agora entramos no processo de classificá-los. Para isso precisamos da segunda derivada da função e do descriminante

∂ 2 f ∂ x 2 x , y = - 2 x

∂ 2 f ∂ y 2 x , y = - 2

∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y = 2

Temos então

∆ x , y = ∂ 2 f ∂ x 2 × ∂ 2 f ∂ y 2 - ∂ 2 f ∂ x ∂ y 2

= - 2 x × - 2 - 2 2 = 4 x - 4

Com isso temos que

- 3 ,   - 3 é ponto de sela, pois ∆ - 3 , - 3 < 0

( 5,5 ) é o ponto de máximo local, pois ∂ 2 f 5,5 ∂ x 2 < 0   e Δ 5,5 > 0

Resposta

- 3 ,   - 3 é ponto de sela, pois ∆ - 3 , - 3 < 0

( 5,5 ) é o ponto de máximo local, pois ∂ 2 f 5,5 ∂ x 2 < 0   e Δ 5,5 > 0

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