Exercícios Resolvidos de Pontos Críticos de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

6 - Determine os valores máximo e mínimo, se existirem, das funções relacionadas sujeitas ao respectivo vínculo indicado:

b) f x , y = x y , 4 x 2 + 9 y 2 = 36 ;

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse item b) vamos obter os pontos máximos e mínimos de f que estão sob a equação da elipse que foi dada.

Ou seja, temos que obter os máximos e mínimos de f que fazem parte de 4 x 2 + 9 y 2 = 36 .

Ok, mas como vamos calcular esses pontos em f ?? 🤔🤔

De maneira mais direta, temos que fazer substituições da equação em f , derivar e igualar a 0 .

A partir daí, vamos obter um sistema. Logo a combinação das soluções que encontrarmos, vão ser os pontos que vamos estudar.

Por exemplo, f x , y = x y e 4 x 2 + 9 y 2 = 36 .

Temos que fazer alguma manipulação na equação para que possamos substituí-la em f .

Podemos isolar x em um lado da igualdade tal que

4 x 2 = 36 - 9 y 2

x 2 = 36 - 9 y 2 4

Tirando a raiz dos dois lados para eliminar a potência de x , temos

x 2 = 36 - 9 y 2 4

x = 36 - 9 y 2 2

Mas e aí, o que fazemos com isso?

Passo 2

Passo 3

Agora substituímos x em f

f y = 36 - 9 y 2 2 y

Com isso, temos que derivar f y e igualar a 0 .

f ' y = d 36 - 9 y 2 2 y d y

Para obter essa derivada, vamos partir para a regra do produto que diz que quando temos o produto entre duas funções ( f = g · h ), a derivada é dada como

f ' = g ' · h + g · h '

Ou seja

f ' y = d 36 - 9 y 2 2 d y · y + 36 - 9 y 2 2 · d y d y

Porém, perceba que na derivada de 36 - 9 y 2 2 , vamos ter que aplicar a regra da cadeia, já que se trata de uma função composta.

Vamos ver mais sobre isso

A regra da cadeia nos diz que quando temos uma função do tipo p q x , no caso p q x = q x 2 e q x = 36 - 9 y 2 . A derivada de p q x é dada por

p q x ' = q ' x · p ' q x ,     q x → u

Perceba que q x é substituída por uma variável qualquer em p ' q x . Logo

d 36 - 9 y 2 2 d y = d 36 - 9 y 2 d y · d u 2 d u

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Substituindo essa informação em f ' y , temos

f ' y = d 36 - 9 y 2 d y · d u 2 d u · y + 36 - 9 y 2 2 · d y d y

Assim, podemos calcular as derivadas separadamente pra facilitar a visualização do que estamos fazendo

Por derivação de polinômios, a derivada de 36 - 9 y 2 é obtida multiplicando a variável pela potência e subtraindo 1 do expoente. Lembrando que a derivada de uma constante é igual a 0 .

d 36 - 9 y 2 d y = 0 - 2 · 9 y 2 - 1 = - 18 y

Da mesma forma, podemos obter a derivada de u 2 , onde reescrevendo como u 1 2 / 2 temos

d u 2 d u = 1 2 · u 1 2 - 1 2 = u - 1 2 4

Não podemos esquecer de substituir u por q x de volta!

u → q x ,     u - 1 2 4 → 36 - 9 y 2 - 1 2 4

Já para a derivada de y , pelo mesmo princípio das anteriores.

d y d y = 1 · y 1 - 1 = 1

Está acompanhando?

Passo 5

Substituindo esses resultados em f ' y , temos

f ' y = - 18 y · 36 - 9 y 2 - 1 2 4 · y + 36 - 9 y 2 2 · 1

f ' y = - 18 y 2 4 36 - 9 y 2 + 36 - 9 y 2 2

Manipulando um pouquinho esse resultado, temos

f ' y = - 9 y 2 2 9 4 - y 2 + 36 - 9 y 2 2 · 36 - 9 y 2 36 - 9 y 2

Aplicando as propriedades dos radicais

f ' y = - 9 y 2 2 9 4 - y 2 + 36 - 9 y 2 2 36 - 9 y 2

f ' y = - 9 y 2 2 9 4 - y 2 + 36 - 9 y 2 2 9 4 - y 2

f ' y = - 18 y 2 + 36 2 9 4 - y 2

Fatorando o numerador, vamos resultar em

f ' y = 3 - 6 y 2 + 12 2 3 4 - y 2

E finalmente, temos

f ' y = - 6 y 2 + 12 2 4 - y 2

Relaxa, estamos quase no fim! 👀

Passo 6

Vamos igualar o resultado que obtemos a 0 e encontrar a solução

- 6 y 2 + 12 2 4 - y 2 = 0

Para essa igualdade ser satisfeita, podemos ignorar o denominador e olhar apenas para o numerador já que se 2 4 - y 2 = 0 não temos solução. Logo

- 6 y 2 + 12 = 0

y 2 = 12 6

y = ± 2

Já encontramos duas coordenadas para y , resta substituirmos esse valor na equação para encontrar os valores para x .

4 x 2 + 9 2 2 = 36

4 x 2 + 18 = 36

x 2 = 18 4

Com isso, encontramos que

x = ± 3 2

A partir desses resultados, vamos determinar os pontos que vamos verificar como sendo a combinação dos resultados que obtemos. Ou seja

P 1 = 3 2 , 2 ,   P 2 = - 3 2 , 2 ,   P 3 = 3 2 , - 2 ,   P 4 = - 3 2 , - 2

Tem ideia do que podemos fazer para verificar quais são máximos e quais são mínimos?

Passo 7

Vamos substitui-los em f e analisar os resultados que vamos obter, veja só

Para o ponto P 1

f 3 2 , 2 = 3 2 · 2

f 3 2 , 2 = 3

Para o ponto P 2

f - 3 2 , 2 = - 3 2 · 2

f - 3 2 , 2 = - 3

Para o ponto P 3

f 3 2 , - 2 = 3 2 · - 2

f 3 2 , - 2 = - 3

Por fim, para o ponto P 4

f - 3 2 , - 2 = - 3 2 · - 2

f - 3 2 , - 2 = 3

Comparando os resultados, vemos que os pontos P 1 e P 4 são os pontos de máximo já que obtemos o maior valor com eles. Já os pontos P 2 e P 3 são os pontos de mínimo já que obtemos o menor valor de f com eles.

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

Pontos de Máximos: P 1 = 3 2 , 2 P 4 = - 3 2 , - 2 → f = 3

Pontos de Mínimos: P 2 = - 3 2 , 2 P 3 = 3 2 , - 2 → f = - 3

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