Exercícios Resolvidos de Pontos Críticos de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

No ponto ( 0,0 ) , a função f ( x ,   y ) = x ³ - y ³ tem hessiano igual a..... Este ponto, que é crítico, é de ....

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada...

Vamos resolver juntos?

O enunciado deu uma função, um ponto e pediu o hessiano dessa função aplicado no ponto e pediu a classificação desse ponto!

Mas calma! Relembrar é viver....

o hessiano D de uma função f ( x , y ) é:

D ( x , y ) = f x x ( x , y ) f y y ( x , y ) - f ( x , y ) x y 2

Daí a classificação dessa função, quando aplicado em um ponto crítico p :

D ( p ) = f x x ( p ) f y y ( p ) - f ( p ) x y 2

Podemos ter alguns cenários:

  • Se D > 0 e f x x > 0   : p é ponto de MÍNIMO local
  • Se D > 0 e f x x < 0 : p é ponto de MÁXIMO local
  • Se D < 0 : p é ponto de SELA
  • Se D = 0 é inconclusivo

Sendo assim, a ideia aqui é encontrar as derivadas parciais, achar a expressão pro hessiano, aplicar no ponto e aí ver em qual classificação estamos!

Caaaaso dê inconclusivo, a gente tenta por outro caminho, mas vou te ajudar! Confia!

Vamos nessa?

Passo 2

A função é: f ( x ,   y ) = x ³ - y ³

Começando pela derivada em x :

f x = 3 x 2

f x x = 6 x

E agora a mista:

f x y = 0

E agora em y :

f y = - 3 y 2

f y y = - 6 y

Passo 3

O hessiano é:

D = f x x f y y - f x y 2 = 6 x . - 6 y - 0 2

D = - 36 x y

E aplicado no ponto dado:

D 0,0 = 0

O teste foi inconclusivo!

Passo 4

Agora precisamos analisar a função por diferentes caminhos pra ver se é mínimo, máximo ou de sela.

Começando por fixar o x em x = 0 . Aí vamos analisar a função só de y :

f 0 , y = - y 3

Analisando essa função temos:

( 0,0 ) é um ponto de inflexão, nem de máximo, nem de mínimo.

Olhando a função na outra variável, agora fixando y = 0 :

f x , 0 = x 3

Também é um ponto de inflexão!

Então esse ponto crítico é nem de máximo, nem de mínimo! Chamamos esse ponto de degenerado!

Se olharmos nossa função em 3 d vamos ver que ela realmente, nesse ponto, não tem nem máximo, nem mínimo:

beleza?

Então a resposta é: ponto degenerado.

Resposta

n e m   m á x i m o ,   n e m   m í n i m o ,   n e m   s e l a ,   d e g e n e r a d o .

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2- Estude a natureza do ponto crítico das funções abaixo, mostrando que tal ponto tem a propriedade indicada.b) f x , y = 1 - x 4 - y 4 , ponto de máximo.
1-Analise a natureza dos pontos críticos das seguintes funções:a) f x ,y = xs e ny