Exercícios Resolvidos de Pontos Críticos de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Determine os valores de a para os quais a função f ( x ,   y )   =   2 a x 4   +   y 2   − a x 2   - 2 y

a. tenha exatamente um ponto de sela e dois pontos de mínimo local;

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que encontrar o valor de a que permita que a função tenha exatamente um ponto de sela e dois pontos de mínimo local. Primeiro vamos encontrar os pontos críticos de

  f ( x ,   y )   = 2 a x 4   +   y 2   − a x 2   - 2 y .

Então, vamos encontrar os pontos críticos verificando para quais pontos ∇ f ( x ,   y )   = 0 . E para classificar esses pontos críticos, vamos olhar para o determinante hessiano nos pontos críticos P 0 encontrados:

H ( P 0 ) = f x x ( P 0 ) f y y ( P 0 ) - f x y ( P 0 ) f y x ( P 0 )

temos os seguintes critérios:

H ( P 0 ) > 0 e f x x > 0 : P 0 é ponto de mínimo;

H ( P 0 ) > 0 e f x x < 0 : P 0 é ponto de máximo;

H ( P 0 ) < 0 : P 0 é ponto de sela;

H ( P 0 ) = 0 : indeterminado.

Tendo essas informações, vamos avaliar quais valores de a nos levam a situação desejada.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos tomar as derivadas parciais com relação a x e a y da função e igualar a zero:

∂ x f ( x , y ) = f x = ( 8 x 2   − 2 ) a x   = 0 , então a = 0 ou x = 0 e x = ± 1 2 .

∂ y f ( x , y ) = f y =   2 y - 2 = 0 , então y = 1 .

Assim, temos que os pontos críticos podem ser

P 0 = ( x 0 ,   y 0 ) =   ( λ ,   1 ) ( a = 0 ,   λ   ∈   R ) ,   ( 0,1 ) ( a   ∈   R ) ,   ( ± 1 2 , 1 ) ( a   ∈   R ) .

Passo 3

Vamos calcular as segundas derivadas, para calcular o determinante hessiano:

f x x = ( 24 x 2 - 2 ) a ;

f y y = 2 ;

f x y =     0 ;

f y x =   0 .

Vamos olhar para os determinantes hessianos:

H ( λ ,   1 ) ( a = 0 ,   λ   ∈   R ) = 0 ;

H ( 0 ,   1 ) ( a   ∈   R ) = - 4 a ;

H ( ± 1 2 ,   1 ) ( a   ∈   R ) = 8 a ;

Temos que encontrar o valor de a que permita que a função tenha exatamente um ponto de sela e dois pontos de mínimo local. Então temos que se a > 0 :

Para P 0 = ( 0 ,   1 ) ( a   >   0 ) , H ( 0 ,   1 ) ( a   >   0 ) < 0 , então temos um pontos de sela;

Para P 0 = ( ± 1 2 ,   1 ) ( a   >   0 ) , H ( ± 1 2 ,   1 ) ( a   >   0 ) > 0 e f x x = 4 a > 0 , então temos dois pontos de mínimo.

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

a > 0 .

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1. Analise a natureza dos pontos críticos das seguintes funções:e) 4 y 2 e - ( x 2 + y 2 )
1-Analise a natureza dos pontos críticos das seguintes funções:c) f x ,y = x y - x 3 - y 2
2-Estude a natureza do ponto crítico das funções abaixo, mostrando que tal ponto tem a propriedade indicada.a) f x , y = x - y 4 + x + y + 2 2 , ponto de mínimo.
2- Estude a natureza do ponto crítico das funções abaixo, mostrando que tal ponto tem a propriedade indicada.b) f x , y = 1 - x 4 - y 4 , ponto de máximo.
1-Analise a natureza dos pontos críticos das seguintes funções:a) f x ,y = xs e ny