Exercícios Resolvidos de Pontos Críticos de Funções de Várias Variáveis

UFPE, Cálculo 2, EE2, 2016.1, questão 1

Questão 1

b) Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por quê ou dê um exemplo que mostre que é falsa. Se f tem um mínimo local em a , b e f é diferenciável em a , b , então ∇ f a , b = 0

Passo 1

Como f a , b é mínimo local, então temos:

f x , y - f a , b ≥ 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O enunciado diz que f é diferenciável, então podemos afirmar que a derivada direcional é dada tanto pela definição, quanto pela formula a seguir:

D u f a , b = ∇ f a , b ⋅ u

Onde u é um vetor unitário:

u = c , d

Utilizando a definição de derivada direcional vamos ter:

lim h → 0 ⁡ f a + c h ,   b + d h - f a , b h = ∇ f a , b ⋅ u

Passo 3

Agora, vamos calcular esse limite. Vamos ter dois casos:

  • h > 0
  • lim h → 0 + ⁡ f a + c h ,   b + d h - f a , b h

    Como f x , y - f a , b ≥ 0

    Temos:

    lim h → 0 + ⁡ f a + c h ,   b + d h - f a , b h ≥ 0

  • h < 0

lim h → 0 - ⁡ f a + c h ,   b + d h - f a , b h

Como f x , y - f a , b ≥ 0

Temos:

lim h → 0 - ⁡ f a + c h ,   b + d h - f a , b h ≤ 0

Passo 4

Logo, pelo teorema do sanduíche, temos:

lim h → 0 ⁡ f a + c h ,   b + d h - f a , b h = 0

Então, temos o seguinte:

∇ f a , b ⋅ u = 0

Como essa equação tem de ser verdadeira para qualquer direção do vetor u → , a única possibilidade é :

∇ f a , b = 0

Logo, a afirmativa é verdadeira.  

Resposta

Afirmativa verdadeira.

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