Exercícios Resolvidos de Pontos Críticos de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:

b. z   =   x 2 y 2

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que encontrar os pontos críticos de

  f ( x ,   y )   =   x 2 y 2   .

Então, vamos encontrar os pontos críticos verificando para quais pontos ∇ f ( x ,   y )   = 0 . E para classificar esses pontos críticos, vamos olhar para o determinante hessiano nos pontos críticos P 0 encontrados:

H ( P 0 ) = f x x ( P 0 ) f y y ( P 0 ) - f x y ( P 0 ) f y x ( P 0 )

temos os seguintes critérios:

H ( P 0 ) > 0 e f x x > 0 : P 0 é ponto de mínimo;

H ( P 0 ) > 0 e f x x < 0 : P 0 é ponto de máximo;

H ( P 0 ) < 0 : P 0 é ponto de sela;

H ( P 0 ) = 0 : indeterminado.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos tomar as derivadas parciais com relação a x e a y da função e igualar a zero:

∂ x f ( x , y ) = f x = 2 x y 2 = 0

∂ y f ( x , y ) = f y = 2 x 2 y = 0 .

Assim, temos que os pontos críticos podem ser

P 0 = ( x 0 ,   y 0 ) = ( 0 ,   λ ) ,   ( λ ,   0 ) com   λ   ∈   R .

Passo 3

Vamos calcular as segundas derivadas, para calcular o determinante hessiano:

f x x = 2 y 2 ;

f y y = 2 x 2 ;

f x y = 4 x y ;

f y x = 4 x y .

vamos olhar para o determinante hessiano:

H ( 0 , λ ) = H ( λ ,   0 ) = 0

então não podemos classificar os pontos críticos por esse método.

Passo 4

Vamos olhar para o gráfico dessa função:

Então temos que os pontos críticos P 0 = ( 0 ,   λ ) ,   ( λ ,   0 ) com   λ   ∈   R são pontos mínimos.

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

P 0 = ( 0 ,   λ ) ,   ( λ ,   0 ) com   λ   ∈   R , pontos mínimos.

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