Exercícios Resolvidos de Pontos Críticos de Funções de Várias Variáveis

Ver Teoria

Enunciado

Seja f ( x , y ) = 9 - x 2 - y 2 + 4 x + 2 y e R = { ( x , y ) ; x 2 + y 2 ≤ 20 } . Então, podemos afirmar que (digite onde couber, ou selecione a opção correta, dentre as opções):

No interior da região R , f ( x , y ) possui exatamente ? ponto(s) crítico(s), sendo ? ponto(s) de máximo local, ? ponto(s) de mínimo local e ? ponto(s) de sela. Na fronteira da região tem-se, por multiplicadores de lagrange, ? candidatos a pontos onde ocorrem os extremos absolutos de f ( x , y ) , em R . O valor mínimo absoluto da função, em R , é ? e ocorre em P m i n ( ? , ? ) . Já o valor máximo absoluto, em R , é ? e ocorre em P m a x ( ? , ? ) .

Passo 1

Oiie, tudo bem?

O enunciado nos deu a seguinte função

f ( x , y ) = 9 - x 2 - y 2 + 4 x + 2 y

estabelecida sobre um domínio dado pela região R = { ( x , y ) ; x 2 + y 2 ≤ 20 } . Temos que encontrar os pontos críticos desta função, determinando se os mesmos são pontos de máximo ou mínimo local, ou pontos de sela. E, utilizando multiplicadores de Lagrange, identificar os candidatos a extremos absolutos da função dentro do domínio dado. Aqui, temos bastante definições para apresentar! Portanto, vamos de pouco a pouco em cada passo! Vem comigo!

Passo 2

Vamos começar pelos pontos críticos! Beleza? Os pontos críticos são aqueles que anulam o vetor gradiente da função, ou seja

∇ → f ( x 0 , y 0 ) = ( ∂ f ( x 0 , y 0 ) ∂ x , ∂ f ( x 0 , y 0 ) ∂ y ) = ( 0,0 )

em que P ( x 0 , y 0 ) é um ponto crítico! Ou seja, o primeiro passo é calcular as derivadas parciais da nossa função de duas variáveis! A derivada em relação a x é

∂ f ( x , y ) ∂ x = ∂ ∂ x [ 9 - x 2 - y 2 + 4 x + 2 y ] = ∂ ∂ x [ 9 ] - ∂ ∂ x [ x 2 ] - ∂ ∂ x [ y 2 ] + 4 ∂ ∂ x [ x ] + 2 ∂ ∂ x [ y ]

lembre que como temos a derivada parcial em relação a x , todo y é tomado como constante, e como derivadas de constantes são nulas, temos que

∂ f ( x , y ) ∂ x = 0 - ∂ ∂ x [ x 2 ] - 0 + 4 ∂ ∂ x [ x ] + 2 ( 0 ) = 4 ∂ ∂ x [ x ] - ∂ ∂ x [ x 2 ]

para as duas derivadas que sobraram, podemos usar a regra do tombo como

∂ ∂ x [ x n ] = n x n - 1

e, obtemos então

∂ f ( x , y ) ∂ x = 4 ( 1 ) x 1 - 1 - ( 2 ) x 2 - 1 = 4 - 2 x

Podemos fazer o processo análogo para a derivada em y , agora tomando x como constante, para obter

∂ f ( x , y ) ∂ y = ∂ ∂ y [ 9 ] - ∂ ∂ y [ x 2 ] - ∂ ∂ y [ y 2 ] + 4 ∂ ∂ y [ x ] + 2 ∂ ∂ y [ y ] = 0 - 0 - ( 2 ) y 2 - 1 + 4 ( 0 ) + 2 ( 1 ) y 1 - 1

ou, simplesmente

∂ f ( x , y ) ∂ y = 2 - 2 y

Vamos usar essas relações para obter os pontos críticos! Bora lá!

Passo 3

Lembrando que o ponto crítico é aquele em que o gradiente se anula, e portanto

∇ → f ( x 0 , y 0 ) = ( ∂ f ( x 0 , y 0 ) ∂ x , ∂ f ( x 0 , y 0 ) ∂ y ) = ( 0,0 )

Usando as derivadas que calculamos no passo anterior, temos que

( 4 - 2 x 0 , 2 - 2 y 0 ) = ( 0,0 )

O que nos dá os valores

x 0 = 2 e y 0 = 1

ou seja, temos apenas um ponto crítico P ( 2,1 ) . Agora, ele é um ponto de máximo local, mínimo local, ou ponto de sela? Vamos descobrir!

Passo 4

Determinar a natureza de um ponto crítico é um trabalho de analisar o valor do determinante da matriz Hessiana, que é da forma

Se temos que d e t [ H ( x 0 , y 0 ) ] > 0 , podemos ter um ponto de máximo ou mínimo, sob a condição

∂ 2 f [ x 0 , y 0 ] ∂ x 2 > 0

indica um ponto de mínimo, e

∂ 2 f [ x 0 , y 0 ] ∂ x 2 < 0

indica um ponto de máximo. Agoram se d e t [ H ( x 0 , y 0 ) ] < 0 , temos um ponto de sela, e se d e t [ H ( x 0 , y 0 ) ] = 0 , não podemos dizer nada sobre a natureza de nosso ponto crítico P ( x 0 , y 0 ) . Vamos calcular as derivadas de segunda ordem então!

Passo 5

Primeiro, a derivada de segunda ordem em relação a x , é dada por

∂ 2 f ( x , y ) ∂ x 2 = ∂ ∂ x [ ∂ f ( x , y ) ∂ x ] = ∂ ∂ x [ 4 - 2 x ]

usando a regra do tombo, temos que a derivada é dada por

∂ 2 f ( x , y ) ∂ x 2 = 0 - 2 ( 1 ) x 1 - 1 = - 2

Analogamente, a segunda derivada em y , é dada por

∂ 2 f ( x , y ) ∂ y 2 = ∂ ∂ y [ 2 - 2 y ] = - 2

As derivadas parciais mistas são calculadas da mesma forma, e temos que

∂ 2 f ( x , y ) ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x [ ∂ f ( x , y ) ∂ y ] = ∂ ∂ x [ 2 - 2 y ]

que resulta em

∂ 2 f ( x , y ) ∂ x ∂ y = 0

já que para a derivada parcial em x , y é uma constante, da mesma forma, temos que

∂ 2 f ( x , y ) ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y [ 4 - 2 x ] = 0

Vamos usar esses resultados para calcular o determinante da nossa matriz hessiana no ponto crítico! Saca só!

Passo 6

Usando o formato da matriz hessiana que escrevemos nos passos anteriores, temos que o determinante será

d e t ( H ( x , y ) ) = ∂ 2 f ( x , y ) ∂ x 2 ∂ 2 f ( x , y ) ∂ y 2 - ∂ 2 f ( x , y ) ∂ x ∂ y ∂ 2 f ( x , y ) ∂ y ∂ x

usando os valores que calculamos antes, temos que

d e t ( H ( x , y ) ) = ( - 2 ) ( - 2 ) - ( 0 ) ( 0 ) = 4

que é uma constante maior que zero. Portanto, qualquer ponto crítico obtido será um máximo ou mínimo local. No entanto, temos que

∂ 2 f ( x , y ) ∂ x 2 = - 2 < 0

Portanto, o nosso ponto de crítico, necessariamente é um ponto de máximo local! Então, temos um ponto de máximo local, nenhum ponto de mínimo local e nenhum ponto de sela! Agora vamos analisar os multiplicadores de Lagrange e ver os extremos absolutos!

Passo 7

O método dos multiplicadores de Lagrange se trata de obter uma constante λ tal que

∇ → f ( x , y ) = λ ∇ → g ( x , y )

temos que f ( x , y ) é a função que queremos obter um extremo. Mas quem é g ( x , y ) ? Essa função é uma restrição! Em nosso caso, dado pela fronteira de R = { ( x , y ) ; x 2 + y 2 ≤ 20 } , ou seja, temos que

g ( x , y ) = x 2 + y 2 - 20 = 0

Usando a definição do vetor gradiente que apresentei lá atrás! E usando a regra do tombo, temos que

∇ → g ( x , y ) = ( ∂ ∂ x [ x 2 + y 2 - 20 ] , ∂ ∂ y [ x 2 + y 2 - 20 ] ) = ( 2 x , 2 y )

Nós já obtivemos ao longo da questão o gradiente de f ( x , y ) , portanto, usando o resultado, temos que

( 4 - 2 x , 2 - 2 y ) = λ ( 2 x , 2 y )

Para que a igualdade seja verdade, precisamos que as componentes de ambos os vetores sejam iguais, temos então que

4 - 2 x = 2 λ x e 2 - 2 y = 2 λ y

Agora é só resolvermos para λ ! Vamos lá!

Passo 8

Temos que os valores possíveis de x e y , são dados por

4 - 2 x = 2 λ x

isolando x , temos que

x = 2 λ + 1

da mesma forma, para y , temos que

y = 1 λ + 1

De forma que obtemos que y = x / 2 , portanto, usando a nossa restrição x 2 + y 2 = 20 , temos que

x 2 + ( x / 2 ) 2 = 20

ou, simplesmente, temos que

5 x 2 4 = 20

ou, temos os dois valores possíveis

x = ± ( 4 ) 20 ( 5 ) = ± 4

O que nos dá dois pontos candidatos

P + = ( 4,2 ) e P - = ( - 4 , - 2 )

Agora, qual desses pontos é o máximo e qual é o mínimo absoluto sobre a restrição? Vamos checar!

Passo 9

A nossa função é

f ( x , y ) = 9 - x 2 - y 2 + 4 x + 2 y

substituindo os valores de ambos os pontos, temos que

f ( 4,2 ) = 9 - 4 2 - 2 2 + 4 ( 4 ) + 2 ( 2 ) = 9

e, temos que

f ( - 4 , - 2 ) = 9 - ( - 4 ) 2 - ( - 2 ) 2 + 4 ( - 4 ) + 2 ( - 2 ) = - 31

Portanto, temos que P + é um máximo e P - é um mínimo! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

A função possui 1 ponto crítico sendo este um ponto de máximo, mas o multiplicadores de Lagrange indicam sobre a restrição dois candidatos de extremos absolutos dados por P + = ( 4,2 ) e P - = ( - 4 , - 2 ) que é um máximo e um mínimo respectivamente!

Exercícios de Livros Relacionados

1. Analise a natureza dos pontos críticos das seguintes funções:e) 4 y 2 e - ( x 2 + y 2 )
1-Analise a natureza dos pontos críticos das seguintes funções:c) f x ,y = x y - x 3 - y 2
2-Estude a natureza do ponto crítico das funções abaixo, mostrando que tal ponto tem a propriedade indicada.a) f x , y = x - y 4 + x + y + 2 2 , ponto de mínimo.
2- Estude a natureza do ponto crítico das funções abaixo, mostrando que tal ponto tem a propriedade indicada.b) f x , y = 1 - x 4 - y 4 , ponto de máximo.
1-Analise a natureza dos pontos críticos das seguintes funções:a) f x ,y = xs e ny