Exercícios Resolvidos de Pontos Críticos de Funções de Várias Variáveis

UFRJ, Cálculo 2, P2 - 2014.2, Questão ME4

Suponha que a função f ( x , y , z ) tem um ponto crítico em ( x 0 , y 0 , z 0 ) no espaço. Se a > 0 e b > 0 são números reais positivos, então a função g x , y , z = a f x , y , z + b tem um ponto crítico em

(a) x 0 , y 0 , z 0

(b) a ( x 0 , y 0 , z 0 )

(c) 1 a ( x 0 , y 0 , z 0 )

(d) a x 0 , y 0 , z 0 + b

(e) a informação é insuficiente

Passo 1

Essa é uma questão mais teórica, mas você vai ver que não tem mistério!

( x 0 , y 0 , z 0 ) é um ponto crítico de f , ou seja nesse ponto as derivadas parciais se anulam, certo? Temos

f x 0 , y 0 , z 0 = ( 0,0 , 0 )

Agora vamos dar uma olhada na função g :

g x , y , z = a f x , y , z + b

Repare que as derivadas parciais da g são as derivadas parciais da f multiplicando a ! O b , constante, some. Pelas regras básicas de derivação, temos:

g x x , y , z = a . f x x , y , z + 0

g y x , y , z = a . f y x , y , z + 0

g z x , y , z = a . f z x , y , z + 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

E no ponto x 0 , y 0 , z 0 as derivadas parciais da f são todas iguais a zero né?? Ótimo, então elas também vão ser zero pra g :

g x x , y , z = a . 0 = 0

g y x , y , z = a . 0 = 0

g z x , y , z = a . 0 = 0

Então o ponto ( x 0 , y 0 , z 0 ) também é um ponto crítico da g !

Resposta

Alternativa (a)

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