Exercícios Resolvidos de Pontos Críticos de Funções de Várias Variáveis

Cálculo 2 PUC-RJ, P2 2013.2, questão 1 (modificada)

Considere a função

f x , y = e 2 x + 3 y 8 x 2 - 6 x y + 3 y 2

Encontre todos os pontos críticos de f x , y .

Passo 1

Vamos calcular as derivadas parciais da f , usando a regra do produto e a regra da cadeia:

f x x , y = e 2 x + 3 y ( 2 ) 8 x 2 - 6 x y + 3 y 2 + e 2 x + 3 y 16 x - 6 y

Botando 2 e 2 x + 3 y em evidência:

f x x , y = 2 e 2 x + 3 y 8 x 2 - 6 x y + 3 y 2 + 8 x - 3 y

E pra derivada parcial em relação a y temos

f y x , y = e 2 x + 3 y ( 3 ) 8 x 2 - 6 x y + 3 y 2 + e 2 x + 3 y - 6 x + 6 y

Agora botamos 3 e 2 x + 3 y em evidência:

f y x , y = 3 e 2 x + 3 y 8 x 2 - 6 x y + 3 y 2 - 2 x + 2 y

Resumindo:

f x x , y = 2 e 2 x + 3 y 8 x 2 - 6 x y + 3 y 2 + 8 x - 3 y f y x , y = 3 e 2 x + 3 y 8 x 2 - 6 x y + 3 y 2 - 2 x + 2 y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos zerar as derivadas parciais.

f x x , y = 0 2 e 2 x + 3 y 8 x 2 - 6 x y + 3 y 2 + 8 x - 3 y = 0 f y x , y = 0 3 e 2 x + 3 y 8 x 2 - 6 x y + 3 y 2 - 2 x + 2 y = 0

A exponencial nunca vale zero, então temos

8 x 2 - 6 x y + 3 y 2 + 8 x - 3 y = 0 8 x 2 - 6 x y + 3 y 2 - 2 x + 2 y = 0

Passo 3

Subtraindo a 2ª equação da 1ª:

8 x 2 - 6 x y + 3 y 2 + 8 x - 3 y - 8 x 2 - 6 x y + 3 y 2 - 2 x + 2 y = 0

8 x - 3 y + 2 x - 2 y = 0

10 x = 5 y

y = 2 x

Passo 4

Beleza, agora substituímos numa das equações que achamos:

8 x 2 - 6 x y + 3 y 2 + 8 x - 3 y = 0

8 x 2 - 6 x 2 x + 3 2 x 2 + 8 x - 3 2 x = 0

8 x 2 - 12 x 2 + 12 x 2 + 8 x - 6 x = 0

8 x 2 + 2 x = 0

2 x = - 8 x 2

x = - 4 x 2

x = 0     o u   - 4 x = 1 x = - 1 4

Show, estamos quase acabando.

Passo 5

Se x = 0 , então y = 0 . E se x = - 1 4 :

y = - 2 4 = - 1 2

Então a função tem 2 pontos críticos: os pontos 0 ,   0 e - 1 4 ,   - 1 2 .

Resposta

0 ,   0 e - 1 4 ,   - 1 2

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