Exercícios Resolvidos de Pontos Críticos de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

6 - Determine os valores máximo e mínimo, se existirem, das funções relacionadas sujeitas ao respectivo vínculo indicado:

d) f x , y , z = x + y + z , x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 = 36 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão o enunciado nos deu uma função f e nos disse para encontrar os pontos valores máximos e mínimos dessa função que estão vinculados à equação x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 = 36 .

Ok, mas você tem ideia de como podemos fazer isso?? 🤔

Se vamos analisar a parte de f que está contida na equação, temos que substituir a equação em f , correto?

Pra isso, isolamos uma variável da equação e substituímos em f , por exemplo, podemos isolar x , onde

x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 = 36

x 2 = 36 - 4 y 2 - 9 z 2

Tirando a raiz dos dois lados para eliminar o expoente de x

x 2 = 36 - 4 y 2 - 9 z 2

x = 36 - 4 y 2 - 9 z 2

Com isso, substituindo em f , vamos ter

f y , z = 36 - 4 y 2 - 9 z 2 + y + z

O que fazíamos para encontrar os pontos de máximos e mínimos de uma função? Derivávamos e igualávamos a 0 , não é?

Aqui vamos fazer a mesma coisa! Bora lá?

Passo 2

Vamos derivar nosso novo f y , z com relação a y , tal que

∂ f ∂ y = ∂ 36 - 4 y 2 - 9 z 2 + y + z ∂ y

Lembrando que a derivada da soma é igual a soma das derivadas, logo

∂ f ∂ y = ∂ 36 - 4 y 2 - 9 z 2 ∂ y + ∂ y ∂ y + ∂ z ∂ y

Por enquanto, o maior desafio é aplicar a regra da cadeia na derivada de 36 - 4 y 2 - 9 z 2 .

A regra da cadeia nos diz que quando temos uma função composta, como no nosso caso 36 - 4 y 2 - 9 z 2 = g h y , z onde h y , z = 36 - 4 y 2 - 9 z 2 e g h y , z = h y , z , logo

g h y , z ' = h ' y , z · g ' h y , z ,     h y , z → u

Na derivada de g , vamos substituir h y , z por uma variável qualquer.

Com isso, nossa derivada de 36 - 4 y 2 - 9 z 2 será

∂ 36 - 4 y 2 - 9 z 2 ∂ y = ∂ 36 - 4 y 2 - 9 z 2 ∂ y · ∂ u ∂ u

Substituindo essa informação em ∂ f ∂ y

∂ f ∂ y = ∂ 36 - 4 y 2 - 9 z 2 ∂ y · ∂ u ∂ u + ∂ y ∂ y + ∂ z ∂ y

Podemos separar mais um pouquinho pra ficar

∂ f ∂ y = ∂ 36 ∂ y - ∂ 4 y 2 ∂ y - ∂ 9 z 2 ∂ y · ∂ u ∂ u + ∂ y ∂ y + ∂ z ∂ y

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Vamos derivar as derivadas separadamente para ter mais controle do que estamos fazendo

Por derivada de polinômios, multiplicamos a variável pela potência e subtraímos 1 do expoente

∂ 4 y 2 ∂ y = 2 · 4 y 2 - 1 = 8 y

∂ y ∂ y = 1 · y 1 - 1 = 1

∂ u ∂ u = 1 2 u 1 2 - 1 = 1 2 u

Já onde temos apenas z ou uma constante, a derivada é 0 , já que estamos derivando com relação a y .

∂ 36 ∂ y = ∂ 9 z 2 ∂ y = ∂ z ∂ y = 0

Substituindo essas informações em ∂ f ∂ y , temos

∂ f ∂ y = 0 - 8 y - 0 · 1 2 u + 1 + 0

∂ f ∂ y = - 8 y 2 u + 1

Vamos juntar tudo em um termo só

∂ f ∂ y = - 8 y 2 u + 2 u 2 u

∂ f ∂ y = - 4 y + u u

Porém não podemos deixar o resultado em função de u , então temos que volta-lo a h y , z

u → h y , z ,     4 y + u u → 4 y + 36 - 4 y 2 - 9 z 2 36 - 4 y 2 - 9 z 2

Ou seja

∂ f ∂ y = - 4 y + 36 - 4 y 2 - 9 z 2 36 - 4 y 2 - 9 z 2

Interessante, não é? 🤩

Passo 4

Vamos igualar a 0 e ver se conseguimos obter algum ponto

- 4 y + 36 - 4 y 2 - 9 z 2 36 - 4 y 2 - 9 z 2 = 0

Se essa condição é verdadeira então

- 4 y + 36 - 4 y 2 - 9 z 2 = 0

4 y = 36 - 4 y 2 - 9 z 2

Vamos elevar os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz

4 y 2 = 36 - 4 y 2 - 9 z 2 2

16 y 2 = 36 - 4 y 2 - 9 z 2

Com isso, temos

20 y 2 + 9 z 2 = 36

A partir dessa equação não podemos tirar nenhum ponto, então vamos ter que ir em busca de outra equação.

Podemos derivar f y , z com relação a z dessa vez

∂ f ∂ z = ∂ 36 - 4 y 2 - 9 z 2 + y + z ∂ z

Perceba que vamos seguir os mesmos passos de calcular a derivada de 36 - 4 y 2 - 9 z 2 pela regra da cadeia, então vamos cortar um caminho pra ganharmos tempo

∂ f ∂ z = ∂ 36 ∂ z - ∂ 4 y 2 ∂ z - ∂ 9 z 2 ∂ z · ∂ u ∂ u + ∂ y ∂ z + ∂ z ∂ z

Está acompanhando? 👀👀

Passo 5

Agora é a vez de y se comportar como uma constante, logo onde temos apenas y ou uma constante para derivar a resultante é 0

∂ 36 ∂ z = ∂ 4 y 2 ∂ z = ∂ y ∂ z = 0

Já pelo princípio da derivada de polinômios, temos

∂ 9 z 2 ∂ z = 2 · 9 z 2 - 1 = 18 z

∂ z ∂ z = 1 · z 1 - 1 = z

Como já calculamos a derivada de u , podemos escrever o resultado diretamente

∂ u ∂ u = 1 2 u

Substituindo esses resultados em ∂ f ∂ z , temos

∂ f ∂ z = 0 - 0 - 18 z · 1 2 u + 0 + 1

∂ f ∂ z = - 18 z 2 u + 1

Juntando tudo em um termo só, temos

∂ f ∂ z = - 18 z 2 u + 2 u 2 u

∂ f ∂ z = - 18 z + 2 u 2 u

Simplificando e substituindo u por 36 - 4 y 2 - 9 z 2 , temos

∂ f ∂ z = - 9 z + 36 - 4 y 2 - 9 z 2 36 - 4 y 2 - 9 z 2

Entendeu? 😁

Passo 6

Igualando ∂ f ∂ z a 0 , temos

- 9 z + 36 - 4 y 2 - 9 z 2 36 - 4 y 2 - 9 z 2 = 0

Nosso denominador não pode ser 0 , logo

- 9 z + 36 - 4 y 2 - 9 z 2 = 0

9 z = 36 - 4 y 2 - 9 z 2

Elevando os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz, temos

9 z 2 = 36 - 4 y 2 - 9 z 2 2

81 z 2 = 36 - 4 y 2 - 9 z 2

4 y 2 + 90 z 2 = 36

Com isso encontramos um sistema de equações

20 y 2 + 9 z 2 = 36 4 y 2 + 90 z 2 = 36

Resolvendo esse sistema, vamos obter

y 2 = 81 49 z 2 = 16 49

Ou seja, tirando a raiz dos dois lados, temos

y = ± 9 7 z = ± 4 7

Substituindo na equação, temos

x 2 + 4 9 7 2 + 9 4 7 2 = 36

x 2 = 1296 49 ,     x = ± 36 7

Analisando f , podemos afirmar que os pontos extremos vão acontecer quanto x , y e z tiverem o mesmo sinal, assim a magnitude de f vai ser o máximo.

Passo 7

Vamos substituir os pontos em f e ver qual a imagem que eles formam e comparar qual o maior e qual o menor.

Para o ponto P 1 = 36 7 , 9 7 , 4 7

f 36 7 , 9 7 , 4 7 = 36 7 + 9 7 + 4 7

f 36 7 , 9 7 , 4 7 = 7

Já para o ponto P 2 = - 36 7 , - 9 7 , - 4 7

f - 36 7 , - 9 7 , - 4 7 = - 36 7 - 9 7 - 4 7

f - 36 7 , - 9 7 , - 4 7 = - 7

Com isso, descobrimos que o ponto P 1 é máximo e o ponto P 2 é mínimo

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

Ponto de Máximo:

P 1 = 36 7 , 9 7 , 4 7 ,     f 36 7 , 9 7 , 4 7 = 7

Ponto de Mínimo:

P 2 = - 36 7 , - 9 7 , - 4 7 ,     f - 36 7 , - 9 7 , - 4 7 = - 7

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