Exercícios Resolvidos de Pontos Críticos de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Determine os pontos críticos de f x ,   y = 1 2 x 2 - 3 x 3 + y 5 - 5 y - 3 classificando-os, quando possível, como ponto de máximo local, ponto de mínimo local ou ponto de sela.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma função de duas variáveis e pediu pra gente encontrar seus pontos críticos e classifica-los como pontos de máximo, mínimo ou ponto de sela. Lembra como a gente faz isso em funções desse tipo?

A gente vai continuar calculando a primeira derivada e igualando a zero para encontrar os pontos críticos, como fazíamos nas funções de uma variável. O que vai mudar vai ser na hora de classificar esses pontos.

Isso porque, nas funções de duas variáveis, o nosso teste da derivada segunda vai consistir em calcular o determinante da matriz hessiana no ponto crítico P 0 e analisar seu sinal. Matriz quem?

A Hessiana, lembra dela? Vai ser essa aqui:

H P 0 = f x x ( P 0 ) f x y ( P 0 ) f y x ( P 0 ) f y y ( P 0 )

Calculando o determinante, vamos ter uma equação assim:

H P 0 = f x x ( P 0 ) f y y ( P 0 ) - f x y ( P 0 ) f y x ( P 0 )

Aí dependendo do caso, esse ponto pode ser de máximo, mínimo ou ponto de sela (nem máximo nem mínimo). Se H P 0 > 0 , então P 0 é um ponto de máximo ou mínimo. Aí nós analisamos:

Se f x x P 0 > 0 → P 0 é um ponto de mínimo.

Se f x x P 0 < 0 → P 0 é um ponto de máximo.

H P 0 < 0 → P 0 é ponto de sela

H P 0 = 0 → não se sabe.

Então, vamos lá verificar!

Passo 2

Para a nossa função f x ,   y = 1 2 x 2 - 3 x 3 + y 5 - 5 y - 3 , vamos começar calculando a primeira derivada e igualando a zero.

Derivando em relação a x :

f x = - 1 + x 5 3 x 2 3

Derivando agora em relação a y :

f y = 5 y 4 - 5

Nossos pontos críticos vão estar em:

- 1 + x 5 3 x 2 3 = 0

5 y 4 - 5 = 0

Da primeira equação, como o denominador não pode ser zero, temos:

- 1 + x 5 3 = 0 →   x 5 3 = 1 → x = 1

Da segunda equação, temos:

5 y 4 - 5 = 0 → 5 y 4 = 5 → y = ± 1

Então, temos pontos críticos em ( 1 ,   1 ) e em ( 1 ,   - 1 ) .

Passo 3

Agora nós vamos calcular as segundas derivadas e aplicar nos pontos críticos.

Derivando f x em relação a x , temos:

f x x = 3 x 5 3 + 2 3 x 5 3

Derivando agora f x em relação a y :

f x y = 0

Agora vamos derivar f y em relação a y :

f y y = 20 y 3

E em relação a x :

f y x = 0

Passo 4

Agora vamos colocar tudo na equação da Hessiana:

H P 0 = f x x ( P 0 ) f y y ( P 0 ) - f x y ( P 0 ) f y x ( P 0 )

Mas primeiro, vamos aplicar as derivadas no ponto P 0 = ( 1 ,   1 ) :

f x x P 0 = 3 ( 1 ) 5 3 + 2 3 ( 1 ) 5 3 = 5 3

f y y P 0 = 20 ( 1 ) 3 = 20

f x y P 0 = 0

f y x P 0 = 0

Substituindo na equação, temos:

H 1 ,   1 = 5 3 ∙ 20 - 0 ∙ 0 = 100 3

Como H P 0 > 0 , então P 0 = 1 ,   1 é um ponto de máximo ou mínimo. Então vamos analisar o sinal de f x x em P 0 . Como temos:

f x x P 0 = 5 3 > 0

Então, 1 ,   1 é um ponto de mínimo.

Passo 5

Agora vamos aplicar as derivadas no ponto P 0 = ( 1 ,   - 1 ) :

f x x P 0 = 3 ( 1 ) 5 3 + 2 3 ( 1 ) 5 3 = 5 3

f y y P 0 = 20 ( - 1 ) 3 = - 20

f x y P 0 = 0

f y x P 0 = 0

Substituindo na equação, temos:

H 1 ,   - 1 = 5 3 ∙ - 20 + 0 ∙ 0

Como H P 0 < 0 , temos um ponto de sela.

E encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉

Resposta

P 0 = 1 ,   1 → p o n t o   d e   m í n i m o

P 0 = 1 ,   - 1 → p o n t o   d e   s e l a

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