Exercícios Resolvidos de Pontos Críticos de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Seja f x , y = x 2 + 2 x y - y 3 no domínio de R 2 . Então, o número de pontos críticos de f x , y é:

a 0

b 1

c 3

d 4

e 2

Passo 1

Primeiro, calculamos o gradiente da f :

∇ f x , y = 2 x + 2 y ,   2 x - 3 y 2

Passo 2

Agora igualamos a zero:

∇ f x , y = 0 ,   0

2 x + 2 y ,   2 x - 3 y 2 = 0 ,   0

2 x + 2 y = 0

2 x - 3 y 2 = 0

Da primeira equação temos:

x = - y

Substituindo na segunda equação:

- 2 y - 3 y 2 = 0

y 2 + 3 y = 0

Então temos duas possibilidades:

y = 0

y = - 2 3

Portanto temos dois pontos críticos:

P 1 = 0,0   e   P 2 = 2 3 , - 2 3

Resposta

Letra e

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1. Analise a natureza dos pontos críticos das seguintes funções:e) 4 y 2 e - ( x 2 + y 2 )
1-Analise a natureza dos pontos críticos das seguintes funções:c) f x ,y = x y - x 3 - y 2
2-Estude a natureza do ponto crítico das funções abaixo, mostrando que tal ponto tem a propriedade indicada.a) f x , y = x - y 4 + x + y + 2 2 , ponto de mínimo.
2- Estude a natureza do ponto crítico das funções abaixo, mostrando que tal ponto tem a propriedade indicada.b) f x , y = 1 - x 4 - y 4 , ponto de máximo.
1-Analise a natureza dos pontos críticos das seguintes funções:a) f x ,y = xs e ny