Exercícios Resolvidos de Pontos Críticos de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Seja f x , y = x 2 + 2 x y - y 3 no domínio de R 2 . Então, o número de pontos críticos de f x , y é:

a 0

b 1

c 3

d 4

e 2

Passo 1

Primeiro, calculamos o gradiente da f :

∇ f x , y = 2 x + 2 y ,   2 x - 3 y 2

Passo 2

Agora igualamos a zero:

∇ f x , y = 0 ,   0

2 x + 2 y ,   2 x - 3 y 2 = 0 ,   0

2 x + 2 y = 0

2 x - 3 y 2 = 0

Da primeira equação temos:

x = - y

Substituindo na segunda equação:

- 2 y - 3 y 2 = 0

y 2 + 3 y = 0

Então temos duas possibilidades:

y = 0

y = - 2 3

Portanto temos dois pontos críticos:

P 1 = 0,0   e   P 2 = 2 3 , - 2 3

Resposta

Letra e