Enunciado

Prove que a função 2 x 5 + x 3 + 2 x é crescente em todos os pontos

Passo 1

O primeiro passo pra gente determinar se uma função é crescente ou não, é determinar seu(s) ponto(s) crítico(s) e por fim ver no que isso vai dar em alguns intervalos que podemos dividir em 3.

- ∞ , p o n t o   c r í t i c o ,   p o n t o   c r í t i c o   e   p o n t o   c r í t i c o ,   + ∞

Passo 2

Vamos primeiro derivar nossa função e encontrar o ponto crítico:

f x = 2 x 5 + x 3 + 2 x

Agora, precisamos derivar e igualar a zero para encontrar o ponto crítico!

f ' x = 10 x 4 + 3 x 2 + 2 = 0

CALMA, NÃO SE ASSUSTE!!!! NÃO VAMOS PRECISAR CALCULAR AS QUATRO RAÍZES DESSA EQUAÇÃO!

Vem comigo pro passo 3 que tu vai ficar de cara na macetada dessa questão!

Passo 3

Perceba que o intervalo de avaliação dessa função é de [ - ∞ , + ∞ ] , então vamos ter alguns pontos dentro desse intervalo que terão sinal negativo, certo?

E quando a função é crescente? Quando eu pegar valores acima e abaixo do ponto crítico e verificar que sempre teremos uma derivada positiva.

Perceba que isso é verdade pra essa função, pois na sua derivada, todos os termos de potência em x são pares, o que isso implica? Isso quer dizer que independente do valor que você colocar em x , ao fazer seu valor elevado na potência par, esse resultado sempre será positivo.

Logo, o que podemos escrever é que:

f ' x = 10 x 4 ⏟ > 0 + 3 x 2 ⏟ > 0 + 2 ⏟ > 0

Portanto,

f ' x > 0 ,   p a r a   q u a l q u e r   x

Resposta

Demonstração!!!

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