Exercícios Resolvidos de Pontos Críticos de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

6 - Determine os valores máximo e mínimo, se existirem, das funções relacionadas sujeitas ao respectivo vínculo indicado:

c) f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 , 3 x + 2 y + z = 6 ;

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse item, vamos calcular os valores máximos e mínimos de f em que os pontos satisfazem a equação 3 x + 2 y + z = 6 .

Ok! Mas como podemos fazer isso??

Já sabemos calcular os pontos críticos de uma função, não é? O processo é muito parecido, a diferença é que vamos substituir alguns parâmetros da equação em f , com isso, calcular suas derivadas e igualar a 0 .

Primeiro vamos substituir x da equação em f . Isolando x , temos

x = 6 - z - 2 y 3

Substituindo em f , temos

f y , z = 6 - z - 2 y 3 2 + y 2 + z 2

f y , z = z 2 9 - 4 z 3 - 8 y 3 + 4 y z 9 + 4 y 2 9 + 4 + y 2 + z 2

Logo, obtemos a função

f y , z = 10 z 2 9 - 4 z 3 - 8 y 3 + 4 y z 9 + 13 y 2 9 + 4

Está entendendo? 👀👀

Passo 2

Vamos derivar essa função que encontramos e analisar o que podemos tirar do resultado.

∂ f ∂ y = ∂ 10 z 2 9 - 4 z 3 - 8 y 3 + 4 y z 9 + 13 y 2 9 + 4 ∂ y

Sabemos que a derivada da soma é a mesma coisa que a soma das derivadas, não é? Então

∂ f ∂ y = ∂ 10 z 2 9 ∂ y - ∂ 4 z 3 ∂ y - ∂ 8 y 3 ∂ y + ∂ 4 y z 9 ∂ y + ∂ 13 y 2 9 ∂ y + ∂ 4 ∂ y

Como estamos derivando em relação a y , a variável z se comporta como uma constante e lembrando que a derivada de uma constante é igual a 0 .

∂ 10 z 2 9 ∂ y = 0

∂ 4 z 3 ∂ y = 0

∂ 4 ∂ y = 0

Por derivada polinomial, multiplicamos a variável pela potência e subtraímos 1 do expoente. Com isso, derivando cada uma das derivadas, temos

∂ 8 y 3 ∂ y = 1 · 8 y 1 - 1 3 = 8 3

∂ 4 y z 9 ∂ y = 1 · 4 y 1 - 1 z 9 = 4 z 9

∂ 13 y 2 9 ∂ y = 2 · 13 y 2 - 1 9 = 26 y 9

Substituindo esses valores em ∂ f ∂ y , temos

∂ f ∂ y = 0 - 0 - 8 3 + 4 z 9 + 26 y 9 + 0

∂ f ∂ y = 26 y 9 + 4 z 9 - 8 3

Interessante, não é? 😎😎

Passo 3

Apenas com essa derivada não podemos tirar nenhuma conclusão relevante a respeito dos pontos de máximos e mínimos. Vamos derivar f y , z em função de z agora.

∂ f ∂ z = ∂ 10 z 2 9 ∂ z - ∂ 4 z 3 ∂ z - ∂ 8 y 3 ∂ z + ∂ 4 y z 9 ∂ z + ∂ 13 y 2 9 ∂ z + ∂ 4 ∂ z

Agora é a vez de y se comportar como uma constante, então onde não temos z para derivar, podemos admitir que é 0 sem medo.

∂ 8 y 3 ∂ z = 0

∂ 26 y 2 9 ∂ z = 0

∂ 4 ∂ z = 0

Agora com as outras derivadas, vamos aplicar o método de derivação de polinômios novamente.

∂ 10 z 2 9 ∂ z = 2 · 10 z 2 - 1 9 = 2 0 z 9

∂ 4 z 3 ∂ z = 1 · 4 z 1 - 1 3 = 4 3

∂ 4 y z 9 ∂ z = 1 · 4 y z 1 - 1 9 = 4 y 9

Substituindo esses resultados em ∂ f ∂ z , temos

∂ f ∂ z = 20 z 9 - 4 3 - 0 + 4 y 9 + 0 + 0

∂ f ∂ z = 20 z 9 + 4 y 9 - 4 3

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Para obter os pontos críticos de uma função, igualávamos suas derivadas a 0 , não é? Vamos fazer o mesmo aqui

26 y 9 + 4 z 9 - 8 3 = 0

20 z 9 + 4 y 9 - 4 3 = 0

Com isso, obtemos o sistema

26 y 9 + 4 z 9 = 8 3 4 y 9 + 20 z 9 = 4 3

Resolvendo esse sistema, vamos encontrar

y = 6 7 ,   z = 3 7

Com isso, vamos substituir esses valores na nossa equação e obter o valor para x

3 x + 2 6 7 + 3 7 = 6

3 x = 27 7

x = 9 7

Portanto, encontramos um único ponto dado por

P = 9 7 , 6 7 , 3 7

Bacana, não é?

Passo 5

Por fim, vamos verificar qual valor de f vamos obter com esse ponto e comparar com outro ponto qualquer que satisfaça nossa equação. Por exemplo o ponto 1,1 , 1 .

Se f P por maior que f 1,1 , 1 , o ponto P é um ponto de máximo, caso o contrário é um ponto de mínimo.

f 9 7 , 6 7 , 3 7 = 9 7 2 + 6 7 2 + 3 7 2

f 9 7 , 6 7 , 3 7 = 18 7 ≅ 2,57

Para o ponto 1,1 , 1

f 1,1 , 1 = 1 2 + 1 2 + 1 2

f 1,1 , 1 = 3

Vemos que P é menor, logo se existe apenas um ponto que representa os máximos e mínimos, o ponto P é o ponto mínimo de f associado à equação!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

Ponto Mínimo:

P = 9 7 , 6 7 , 3 7

f 9 7 , 6 7 , 3 7 = 18 7

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