Exercícios Resolvidos de Pontos Críticos de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Seja f : R 2 → R a função definida por

f x , y = 5 + e y ( y 2 - x 2 )

Preencha os espaços vazios:

  • (     ,     ) é ponto de sela de f .
  • (     ,     ) é ponto de máximo local de f .
  • Passo 1

    Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

    O enunciado pediu um ponto de sela e um ponto de máximo local de f . Bom, para determinar isso, precisamos achar o valor de D . Lembra dele?

    D = f x x . f y y - f x y 2

    Se:

    • D < 0 : ponto de sela
    • D > 0 e f x x > 0 é ponto de mínimo relativo e f x x < 0 é máximo relativo.

    Sendo assim, precisamos encontrar os pontos críticos (derivando parcialmente e igualando a zero, formando um sistema) e testar nas derivadas segundas.

    Mas calma que vou fazer junto com você!

    Vamos nessa?

    Passo 2

    f x , y = 5 + e y ( y 2 - x 2 )

    Primeiro em x e ela deve ser zero:

    ∂ f ∂ x = - 2 x e y = 0

    Aqui temos apenas uma solução, que é quando x = 0 , pois a exponencial não zera.

    E em y :

    ∂ f ∂ y = e y y 2 + 2 y e y = 0

    Então temos que satisfazer essa equação:

    e y y 2 + 2 y e y = 0

    Vou colocar em evidência e y :

    e y y 2 + 2 y = 0

    Aqui temos um produto de dois fatores e y e y 2 + 2 y e isso deve ser zero. Bom e y nunca pode ser zero, então o termo

    y 2 + 2 y

    Deve ser zero.

    Daí temos uma equação com duas soluções:

    y 2 + 2 y = 0

    y y + 2 = 0

    Aqui temos que ou y = 0 ou y + 2 = 0 , então as soluções são:

    y = 0   ; y = - 2

    Sendo assim temos dois pontos críticos:

    0,0

    e

    ( 0 , - 2 )

    Agora precisamos achar as derivadas parciais segundas e depois testar os pontos.

    Passo 3

    A derivada em x :

    f x = - 2 x e y

    E derivando de novo:

    f x x = - 2 e y

    Agora a derivada em y :

    f y = e y y 2 + 2 y e y

    Derivando de novo:

    f y y = 2 y e y + y 2 e y + 2 e y + 2 y e y = 4 y e y + y 2 e y + e y

    E agora a derivada cruzada. Vou pegar a derivada primeira em x :

    f x = - 2 x e y

    E derivar em y :

    f x y = - 2 x e y

    Agora vamos montar o D :

    D = f x x f y y - f x y 2

    D = - 2 e y 4 y e y + y 2 e y + e y - - 2 x e y 2

    D = - 2 e y 4 y e y + y 2 e y + e y - 4 x 2 e 2 y

    Passo 4

    Agora vamos aplicar nos pontos críticos. Primeiro para ( 0,0 ) :

    D(0,0):

    D 0,0 = - 2 e 0 4 . 0 . e 0 + 0 2 e 0 + e 0 - 4 . 0 2 e 2 . 0 = - 2 1 = - 2 < 0

    Então o ponto ( 0,0 ) é ponto de sela.

    E agora para ( 0 , - 2 ) :

    D(0,-2):

    D 0 , - 2 = - 2 e - 2 4 . - 2 . e - 2 + ( - 2 ) 2 e - 2 + e - 2 - 4 . 0 2 e 2 . - 2

    D 0 , - 2 = - 2 e 2 - 8 e 2 + 4 e 2 + 1 e 2 = 6 e 4 > 0    

    Então como D > 0 , precisamos testar f x x para saber se é mesmo ponto de máximo relativo.

    A função f x x é:

    f x x = - 2 e y

    E aplicado em ( 0 , - 2 ) :

    f x x 0 , - 2 = - 2 e - 2 = - 2 e 2 < 0

    Assim, como D > 0 e f x x < 0 temos que o ponto ( 0 , - 2 ) é ponto de máximo relativo.

    E completando os espaços vazios:

    Preencha os espaços vazios:

  • ( 0,0 ) é ponto de sela de f .
  • ( 0 , - 2 ) é ponto de máximo local de f .
  • Ufa! Terminamos!

    Espero ter ajudado!

    Até a próxima!

    Resposta

  • ( 0,0 ) é ponto de sela de f .
  • ( 0 , - 2 ) é ponto de máximo local de f .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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