Exercícios Resolvidos de Pontos Críticos de Funções de Várias Variáveis

Suponha que uma função f ( x , y ) seja diferenciável em todo o plano R 2 e tenha um único ponto crítico em x 0 , y 0 , com x 0 , y 0 > 0 . Então podemos garantir que a função

g x , y = f x 2 , y 2

  1. Possui exatamente dois pontos críticos, em ( 0,0 ) e x 0 , y 0
  2. Possui pelo menos cinco pontos críticos
  3. Possui um único ponto crítico em 0,0
  4. Possui um único ponto crítico em x 0 2 ,   y 0 2
  5. Possui exatamente dois pontos críticos, em ( 0,0 ) e x 0 2 ,   y 0 2

Passo 1

A nossa função f possui somente um único ponto crítico, ou seja, possui somente um único ponto onde

f x = 0

f y = 0

Que é o tal do ponto x 0 , y 0 .

A função g é uma função composta. Para encontramos os pontos críticos dela, precisamos usar a regra da cadeia para derivá-la.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para facilitar as contas, vamos chamar:

u = x 2

v = y 2

Temos então:

g x , y = f u , v

Agora, derivando g x , y :

g x x , y = f x u , v = ∂ f ∂ u ∙ ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ v ∙ ∂ v ∂ x = ∂ f ∂ u ∙ ∂ x 2 ∂ x + ∂ f ∂ v ∙ ∂ y 2 ∂ x = 2 x f u + 0

g y x , y = f y u , v = ∂ f ∂ u ∙ ∂ u ∂ y + ∂ f ∂ v ∙ ∂ v ∂ y = ∂ f ∂ u ∙ ∂ x 2 ∂ y + ∂ f ∂ v ∙ ∂ y 2 ∂ y = 0 + 2 y f v

Passo 3

Agora pensa comigo! Dá pra ver que g x , y vai possuir um ponto crítico na origem né? Quando tivermos x , y = 0,0 , teremos g x = g y = 0 .

Agora onde mais g x , y vai ter pontos críticos? Onde f u = f v = 0 ! E quando vai ser isso?

Bom, o ponto crítico de f x , y acontece em x 0 , y 0 . Então, g x , y = f x 2 , y 2 deve ter pontos críticos nos seguintes pontos:

x 0 , y 0

- x 0 , y 0

x 0 , - y 0

- x 0 , - y 0

Isso porque substituindo esses pontos em g x , y , temos:

g ± x 0 , ± y 0 = f x 0 , y 0

Show de bola, então já achamos 5 pontos críticos de g x , y né?!

Então a resposta só pode ser a b !

Resposta

Letra b

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