Exercícios Resolvidos de Pontos Críticos de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Considere a função

f x , y = x 2 - 1 y 2 - 1 ,         x , y ∈ R 2

Encontre os pontos críticos de f .

Passo 1

Para acharmos os pontos críticos precisamos ter

∇ f = f x , f y = 0,0

Então, primeiro vamos achar as derivadas parciais de f

f x = y 2 - 1 2 x = 2 x y 2 - 1

f y = x 2 - 1 2 y = 2 y x 2 - 1

Passo 2

Como as derivadas são zero, passamos a ter o sistema

2 x y 2 - 1 = 0 2 y x 2 - 1 = 0

Pela primeira equação temos

x = 0

Ou

y 2 - 1 = 0

Isso nos diz que

x = 0       o u         y = 1         o u         y = - 1

Pela segunda equação temos

y = 0

Ou

x 2 - 1 = 0

Isso nos diz que

y = 0         o u         x = 1           o u           x = - 1

Vamos juntar essas duas possibilidades, vamos ter os pontos

x = 0   e   y = 0

y = 1   e   x = 1

y = 1   e   x = - 1

y = - 1   e   x = 1

y = - 1   e   x = - 1

Logo são os pontos

0,0

1,1

1 , - 1

- 1,1

- 1 , - 1

Resposta

0,0

1,1

1 , - 1

- 1,1

- 1 , - 1