Exercícios Resolvidos de Pontos Críticos de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Considere a função f x , y = x y .

a ) Determine os pontos críticos de f { x , y ∈ R 2 : x 2 + 4 y 2 < 4 } e classifique-os como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo na paz com vocês?

Nessa questão recebemos a função:

f x , y = x y

E precisamos determinar os pontos críticos na região aberta:

x 2 + 4 y 2 < 4

Além disso, precisamos também classificar esses pontos críticos.

Bom galera, pra gente determinar os pontos críticos precisamos fazer:

∇ f = ( 0,0 )

Fazendo isso podemos montar um sisteminha e descobrir todos os pares de pontos ( x , y ) que satisfazer a equação acima.

Depois, podemos substituir esses pontos dentro da equação:

x 2 + 4 y 2 < 4

Pra verificar se a desigualdade é verdadeira, e portanto, se o ponto está na região aberta.

Por fim, usamos a matriz Hessiana pra classificar os pontos em máximo local, mínimo local ou ponto de sela.

Bora lá!

Passo 2

Temos:

f x , y = x y

Assim, vamos calcular as derivadas parciais da nossa função pra chegar no gradiente.

∂ f ∂ x = y

∂ f ∂ y = x

Logo:

∇ f ( x , y ) = y , x

Para termos um ponto crítico, precisamos que:

y , x = ( 0,0 )

Ou seja, o único ponto crítico que encontramos é o ponto ( 0,0 ) .

Esse ponto com certeza está dentro da nossa região aberta, pois:

0 2 + 4 ⋅ 0 2 < 4

Beleza! Precisamos apenas determinar se esse é um ponto de máximo, mínimo, ou ponto de sela.

Passo 3

Vamos calculara a nossa matriz Hessiana. Temos que:

H P 0 = f x x ( P 0 ) f x y ( P 0 ) f y x ( P 0 ) f y y ( P 0 )

onde P 0 = ( 0,0 )

Então, antes de mais nada, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem.

Temos:

f x = y

f y = x

Então:

f x x = 0

f y y =   0

f x y = f y x = 1

Assim, a Hessiana vale:

H P 0 = 0 1 1 0

= - 1

Ou seja, H P 0 < 0 .

Logo, já podemos concluir que P 0 = ( 0,0 ) é um ponto de sela.

Prontinho! Matamos a questão 😊

Valeeeeu!

Resposta

0,0 → ponto de sela

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1-Analise a natureza dos pontos críticos das seguintes funções:a) f x ,y = xs e ny