Exercícios Resolvidos de Pontos Críticos de Funções de Várias Variáveis

George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, p. 358 (modificado)

Mostre que 0 ,   0 é um ponto crítico de f x , y = x 2 + k x y + y 2 , não importando o valor da constante k .

Passo 1

Vamos calcular as derivadas parciais da f :

f x x , y = 2 x + k y

f y x , y = k x + 2 y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

No ponto 0 ,   0 , as derivadas parciais valem:

f x 0 ,   0 = 2 0 + k 0 = 0

f y 0 ,   0 = k 0 + 2 0 = 0

Então o valor de k realmente não importa: de qualquer forma as derivadas parciais se anulam!

Portanto, o ponto 0 ,   0 é um ponto crítico de f .

Resposta

f x 0 ,   0 = f y 0 ,   0 = 0 pra qualquer k .

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