Exercícios Resolvidos de Pontos Críticos de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Seja f : R 2 → R uma função diferenciável. A frase:

“ Se o hessiano de f em um ponto p ∈ R 2 é positivo e ∂ 2 f ∂ x 2 p < 0 , então p é um ponto de máximo local de f

É:

Verdadeira ou falsa?

Passo 1

Oi, tudo bem? Vamos resolver juntos?

Essa é uma questão de classificação de pontos críticos!

Como relembrar é viver, o hessiano D de uma função f ( x , y ) é:

D ( x , y ) = f x x ( x , y ) f y y ( x , y ) - f ( x , y ) x y 2

Daí a classificação dessa função, quando aplicado em um ponto crítico p :

D ( p ) = f x x ( p ) f y y ( p ) - f ( p ) x y 2

Podemos ter alguns cenários:

  • Se D > 0 e f x x > 0   : p é ponto de MÍNIMO local
  • Se D > 0 e f x x < 0 : p é ponto de MÁXIMO local
  • Se D < 0 : p é ponto de SELA
  • Se D = 0 é inconclusivo

Passo 2

Passo 3

O enunciado nos diz que:

  • O hessiano (função D ) é positivo: D > 0
  • E que e ∂ 2 f ∂ x 2 p < 0 , então f x x = ∂ 2 f ∂ x 2 p < 0

Esse é o segundo caso! Do passo anterior!

Sendo assim p é um ponto de máximo local! E essa afirmativa é verdadeira!

Certo? Espero ter ajudado!

Resposta

v e r d a d e i r a

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1. Analise a natureza dos pontos críticos das seguintes funções:e) 4 y 2 e - ( x 2 + y 2 )
1-Analise a natureza dos pontos críticos das seguintes funções:c) f x ,y = x y - x 3 - y 2
2-Estude a natureza do ponto crítico das funções abaixo, mostrando que tal ponto tem a propriedade indicada.a) f x , y = x - y 4 + x + y + 2 2 , ponto de mínimo.
2- Estude a natureza do ponto crítico das funções abaixo, mostrando que tal ponto tem a propriedade indicada.b) f x , y = 1 - x 4 - y 4 , ponto de máximo.
1-Analise a natureza dos pontos críticos das seguintes funções:a) f x ,y = xs e ny