Exercícios Resolvidos de Pontos Críticos de Funções de Várias Variáveis

Máximos e Mínimos, Regra da Cadeia, Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente

Seja f u , v = u 3 - u v 2 + 6 v , com u x , y e v x , y de classe C 1 em R 2 . Suponha que x 0 , y 0 é ponto crítico de g x , y = f u x , y , v x , y , u x 0 , y 0 = 1 e v x 0 , y 0 = 2 . Sabendo que δ u δ x x 0 , y 0 = - 1 e δ v δ y x 0 , y 0 = 1 , calcule δ v δ x x 0 , y 0 e δ u δ y x 0 , y 0 .

Passo 1

Mano(a), não sei você, mas esse enunciado me confundiu um pouco. Depois de lê-lo umas duas vezes decidi fazer uma listinha XD Vamos lá, foi dado que:

  • f u , v = u 3 - u v 2 + 6 v , sendo que u e v são funções de x , y .
  • g x , y =   f u x , y , v x , y
  • x 0 , y 0 é ponto crítico de g .
  • u x 0 , y 0 = 1 e v x 0 , y 0 = 2
  • δ u δ x x 0 , y 0 = - 1 e δ v δ y x 0 , y 0 = 1

E, com essa parada toda temos que descobrir as derivadas δ v δ x x 0 , y 0 e δ u δ y x 0 , y 0 . Te garanto uma coisa, por falta de informação não vai ser!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, vamos usar o feeling de aluno...

Temos duas funções, g e f , nas quais aparecem u , v e x , y como argumentos. Logo em seguida, dão duas derivadas de u e v em relação a x e y . E, depois, nos pedem as outras duas. E, para que essas derivadas apareçam, podemos derivar g pela regra da cadeia em relação a x e y !

Veja só, se derivarmos g e relação a x , teremos:

δ g δ x x , y = δ f δ u u x , y , v x , y . δ u δ x + δ f δ v u x , y , v x , y . δ v δ x  

Ou seja, fizemos apenas o produto escalar entre δ f δ u , δ f δ v e δ u δ x , δ v δ x :D

Vamos, agora fazer o mesmo para a derivada em relação a y ? Fica:

δ g δ y x , y = δ f δ u u x , y , v x , y . δ u δ y + δ f δ v u x , y , v x , y . δ v δ y  

Pronto, temos as duas derivadas δ g δ x e δ g δ y , e nelas já aparecem   δ v δ x x 0 , y 0 e δ u δ y x 0 , y 0 que queremos descobrir!

Passo 3

Vamos, agora, colocar o ponto x 0 , y 0 nessas derivadas?

δ g δ x x 0 , y 0 = δ f δ u u x 0 , y 0 , v x 0 , y 0 . δ u δ x + δ f δ v u x 0 , y 0 , v x 0 , y 0 . δ v δ x δ g δ y x 0 , y 0 = δ f δ u u x 0 , y 0 , v x 0 , y 0 . δ u δ y + δ f δ v u x 0 , y 0 , v x 0 , y 0 . δ v δ y

Agora que estamos tratando desse ponto, podemos suar todos os dados que o enunciado nos deu!

Pela primeira informação dada sobre o ponto, temos: x 0 , y 0 é ponto crítico de g . Isso sigifica que as derivadas em relação a x e y valem 0 ! Vamos atualizar o sistema?

0 = δ f δ u u x 0 , y 0 , v x 0 , y 0 . δ u δ x + δ f δ v u x 0 , y 0 , v x 0 , y 0 . δ v δ x 0 = δ f δ u u x 0 , y 0 , v x 0 , y 0 . δ u δ y + δ f δ v u x 0 , y 0 , v x 0 , y 0 . δ v δ y

Passo 4

Show, agora vejamos o que diz a segunda informação: u x 0 , y 0 = 1 e v x 0 , y 0 = 2 . Bom, essa é só substituir mesmo né? Fica:

0 = δ f δ u 1,2 . δ u δ x + δ f δ v 1,2 . δ v δ x 0 = δ f δ u 1,2 . δ u δ y + δ f δ v 1,2 . δ v δ y

E, por fim, pela terceira informação, temos: δ u δ x x 0 , y 0 = - 1 e δ v δ y x 0 , y 0 = 1 . Colocando no sistema, temos:

0 = - δ f δ u 1,2 + δ f δ v 1,2 . δ v δ x 0 = δ f δ u 1,2 . δ u δ y + δ f δ v 1,2 . 1

Passo 5

Estamos quaaase lá! O que falta? Ainda não podemos resolver o sistema se não calcularmos as derivadas de f no ponto 1,2 , certo? Mas, como f foi dada, então isso não é um problema!

Vamos lá, temos que a função é:

f u , v = u 3 - u v 2 + 6 v

derivando em relação a u , dá:

f u u , v = 3 u 2 - v 2

E, no ponto 1,2 é:

f u 1,2 = 3.1 2 - 2 2 = - 1

Agora, derivando f em relação a v , dá:

f v u , v = - 2 u v + 6

Que no ponto 1,2 é:

f v 1,2 = - 2.1 . 2 + 6 = 2

Passo 6

Jogando essas derivadas que acabamos de calcular no sistema, teremos:

0 = - - 1 + 2 . δ v δ x 0 = - 1 . δ u δ y + 2

E, daí, já temos direto que δ u δ y = 2 e δ v δ x = - 1 2 ! Viu só? Nem foi tão complicado assim :) Melhor do que quando precisamos derivar a derivada e ficam aquelas coisas gigantes XD

Resposta

δ u δ y = 2 e δ v δ x = - 1 2

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