Máximos e mínimos
Considere a função
- Explicite as coordenadas de um vetor normal não nulo ao gráfico de em um ponto
- Encontre todos os pontos críticos de
- Encontre todos os pontos tais que o normal ao gráfico em seja paralelo ao vetor
Passo 1
Para acharmos um vetor normal temos que, primeiro, chamar de e achar a função
O vetor normal vai ser o gradiente dessa nova função
Passo 2
O gradiente vai ser
Então
Passo 3
Os pontos críticos são aqueles onde o gradiente de vai ser . Lembrando que
Então
Vamos ter o sistema
Passo 4
Vamos resolver esse sistema, para isso primeiro subtraímos a primeira equação da segunda.
Vamos cancelar os primeiros termos e encontrar
E agora? Podemos substituir essa relação em uma das duas equações, vamos fazer na segunda
Isso nos diz que
Precisamos achar os respectivos valores de
Logo os pontos críticos são
Passo 5
Qualquer vetor paralelo ao vetor precisa ser proporcional a ele, ou seja,
Isso nos diz que todos os vetores paralelos vão ter coordenadas e iguais a zero, ou seja,
Mas lembra que
Isso nos diz que
Que por acaso são os pontos críticos, então os pontos que ele quer são
Resposta
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