Exercícios Resolvidos de Pontos Críticos de Funções de Várias Variáveis

PUCRIO, Cálculo 2 - MAT1162, G2 - 2014.1, Questão 2

Seja f x , y = x 2 4 - cos y .   6 - x 2 , em que x - 6 , 6 , y π 2 , 3 π 2 .

E seja α t = 1 , t , com t π 2 , 3 π 2 .

  1. Calcule o gradiente e os pontos críticos de f .
  2. Seja g t = f α t = f x t , y t ,   t π 2 , 3 π 2 . Calcule g ' t e os pontos críticos de g .
  3. Escreva a equação cartesiana do plano tangente ao gráfico de f no ponto P = 1 , π , 1 4 + 5 . Explicite um vetor normal não nulo N ao plano tangente neste ponto.

Passo 1

  1. Partiu derivar essa função pra encontrar o vetor gradiente!

f x , y = x 2 4 - cos y .   6 - x 2

Se tratarmos y como constante, derivando em relação a x teremos:

f x x , y = x 2 - cos y   .   1 2 6 - x 2 . - 2 x

f x x , y = x 2 + cos y   .   x 6 - x 2

E derivando em relação a y , tratando x como constante, teremos:

f y x , y = sin y . 6 - x 2

E montando o vetor gradiente, teremos:

f x , y = x 2 + cos y   .   x 6 - x 2 , sin y . 6 - x 2  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, vamos encontrar os pontos críticos! Para isso, devemos igualar o vetor gradiente a 0,0 :

x 2 + cos y   .   x 6 - x 2 , sin y . 6 - x 2 = 0,0

E, na real, é o mesmo que resolver o sistema:

x 2 + cos y   .   x 6 - x 2 = 0 sin y . 6 - x 2 = 0

Passo 3

Passando o olho pelas equações, vemos que, para a segunda ser 0 , ou sin y = 0 , ou 6 - x 2 = 0 . Mas esse último aparece no denominador da equação de cima, então não seria nada legal tê-lo igual a 0 ! Então parece uma boa estratégia ver o valor de y que zera a segunda equação e substituí-lo na primeira equação para saber o x :

sin y . 6 - x 2 = 0

Isso é verdade para sin y = 0 :

sin y = 0 y = 0   o u   π

Mas pelos limites dados pelo enunciado, y π 2 , 3 π 2 , então ficamos apenas com a segunda opção.

Passo 4

Colocando y = π na primeira equação teremos:

x 2 + cos π   .   x 6 - x 2 = 0

Aqui vai uma dica: Nunca corte variáveis sem verificar se podem ser colocada em evidência, ou se tem alguma resposta logo de cara. Aqui, como temos x no numerador de cada uma das frações, e a soma delas é 0 , então, se colocarmos x = 0 , com certeza a soma vai dar 0 !

Enfim, sabendo que x = 0 é uma solução, prossigamos:

x 2 = x 6 - x 2

Agora sim, cortamos o x e:

2 = 6 - x 2

x = ± 2

Show! Temos todos os possíveis valores de x : 0 , 2 , - 2 .

Passo 5

Agora só juntamos o valor que tínhamos usado para y para chegar nesses valores de x . Com y = π , podemos montar os pontos críticos:

P 0 = 0 , π

P 1 = 2 , π

P 2 = - 2 , π

Passo 6

b) Aqui é só usar a regra da cadeia, pela definição mesmo:

g ' t = f α t . α ' t

Já temos a expressão para o gradiente de f , então só precisamos substituir a equação de α nele:

α t = 1 , t

f x , y = x 2 + cos y   .   x 6 - x 2 , sin y . 6 - x 2

f α t = 1 2 + cos t . 1 6 - 1 2 , sin t . 6 - 1 2

Passo 7

Agora que temos f α t , podemos fazer o produto escalar pela derivada de α t para encontrar o vetor gradiente.

α t = 1 , t

α ' t = 0,1

g ' t = f α t . α ' t = 1 2 + cos t . 1 6 - 1 2 , sin t . 6 - 1 2 . 0,1

g ' t = sin t . 6 - 1 2

Show? Encontrarmos g ' t :D

Passo 8

Agora para encontrar os pontos críticos de g , precisamos igualar g ' t a 0 :

g ' t = 0

sin t . 6 - 1 2 = 0

Para que isso aconteça, devemos ter sin t = 0 , logo, t = π (poderia ser 0 , mas os limites definidos no enunciado não permitem essa opção).

E pronto, fechamos a resposta da letra b !

Passo 9

c) Segura que só falta uma! E com tudo o que calculamos até agora, vai ser simples ;)

Tudo o que precisamos fazer é calcular o plano tangente no ponto 1 , π para a função f x , y . Assim, seguindo o passo a passo, primeiro encontramos F x , y , z :

f x , y = z

F x , y , z = f x , y - z

E então dizemos que o vetor gradiente de F x , y , z será:

F x , y , z = x 2 + cos y   .   x 6 - x 2 , sin y . 6 - x 2 , - 1

Por que F tem contribuições em x e y por f x , y , então as duas primeiras coordenadas do gradiente F são o próprio gradiente de f x , y , e o único z que aparece em F é esse z , que, derivado, vira a terceira coordenada do gradiente, - 1 .

Passo 10

Agora, substituiremos o ponto P = 1 , π , 1 4 + 5 no gradiente, e teremos o vetor normal nesse ponto:

n = F x 0 , y 0 , z 0 = 1 2 + cos π   .   1 6 - 1 2 , sin π . 6 - 1 2 , - 1

n = 1 2 - 1 5 , 0 , - 1

Passo 11

Com o vetor normal e o ponto de tangência do plano, já temos a equação dele! Basta fazer:

x , y , z . n = P . n

E teremos:

x , y , z .   1 2 - 1 5 , 0 , - 1 = 1 , π , 1 4 + 5 . 1 2 - 1 5 , 0 , - 1

Desenvolvendo os produtos escalares, fica:

x 1 2 - 1 5 - z = 1 2 - 1 5 - 1 4 - 5

x 1 2 - 1 5 - z = 1 4 - 1 5 - 5

Resposta

  1. Gradiente: f x , y = x 2 + cos y   .   x 6 - x 2 , sin y . 6 - x 2
  2. Pontos Críticos: P 0 = 0 , π ,   P 1 = 2 , π ,   P 2 = - 2 , π

  3. g ' t = sin t . 6 - 1 2 , Ponto Crítico: t = π
  4. Plano Tangente: x 1 2 - 1 5 - z = 1 4 - 1 5 - 5

Vetor Normal: n = 1 2 - 1 5 , 0 , - 1

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