Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Exercício 741234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727375767778798081828384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120121122123124125126127128129130131132133134135136137138139140141142143144145146147148149150151152153154155156157158159160161162163164165166167168169170171172173174175176177178179180181182183184185186187188189190191192193194195196197198199200201202203204205206207208209210211212213214215216217218219220221222223224225226227228229230231232233234235236237238239240241242243244245246247248249250251252253254255256257258259260261262263264265266267268269270271272273274275276277278279280281282283284285286287288289290291292293294295296297298299300301302303304305306307308309310311312313314315316317318319320321322323324325326327328329330331332333334335336337338339340341342343344345346347348349350351352353354355356357358359360361362363364365366367368369370371372373374375376377378379380381382383384385386387388389390391392393394395396397398399400401402403404405406407408409410411412413414415416417418419420421422423424425426427428429430431432433434435436437438439440441442443444445446447448449450451452453454455456457458459460461462463464465466467468469470471472473474475476477478479480481482483484485486487488489490491492493494495496497498499500501502503504505506507508509510511512513514515516517518519520521522523524525526527528529530531532533534535536537538539540541542543544545546547548549550551552553554555556557558559560561562563564565566567568569570571572573574575576577578579580581582583584585586587588589590591592593594595596597598599600601602603604605

Enunciado

Calcule

∫ x 3 1 - x 2   d x  

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa integral

∫ x 3 1 - x 2   d x

E temos x 3 e x 2 . Sendo assim, temos potências de x e que podemos usar substituição simples1

Pergunta de milhões: Como achar essa substituição?

A ideia é usar o que está dentro da raiz como u , assim ficamos com u e fica mais fácil pra integrar!

u = 1 - x 2

Assim

x 2 = 1 - u

- 1 2 d u = x   d x

E

x 3 1 - x 2   d x = 1 - x 2   . x . x 2 d x = 1 - u . u . - 1 2 d u

Belê?

Então é isso que vamos fazer! Bora integrar?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Queremos encontrar

∫ x 3 1 - x 2   d x

Nosso integrando

1 - u . u . - 1 2 d u

Aí temos

- 1 2 ∫ u d u - ∫ u 3 2 d u  

Beleza?

Agora nossa missão é resolver!

Passo 3

Integrando temos

- 1 2 ∫ u d u - ∫ u 3 2 d u  

= - 1 2 - 2 5 u 5 2 + 2 3 u 3 2

Simplificando e voltando para x

u = 1 - x 2

= 1 5 1 - x 2 5 2   - 1 3 1 - x 2 3 2 + C

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

1 5 1 - x 2 5 2   - 1 3 1 - x 2 3 2 + C

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