Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Calcule a integral:

∫ e x 1 + e x d x

Passo 1

Realizar uma substituição simples

Essa integral parece complicada né? Mas saca só: quando tivermos e x nume integral, é sempre interessante a gente tentar a substituição simples:

u = e x

d u d x = e x = u

d x = d u u

Opa, mas olha só! Vamos ter u ' s se cortando! Aí sim:

∫ e x 1 + e x d x = ∫ u 1 + u d u u = ∫ 1 1 + u d u

Show de bola, agora basta a gente resolver a integral mais simples

Passo 2

Resolver a integral mais simples

Sobrou pra gente uma integral bem mais simples, com resolução direta:

∫ 1 1 + u d u = ln ⁡ u + 1

Esse vai ser sempre o caso quando no denominador tivermos um u 1 viu? Se fosse u 2 ai complicava. Mas se ainda desconfia, tenta fazer a substituição simples:

w = u + 1

d u = d w

Ficando com:

∫ 1 1 + u d u = ∫ 1 w d w = ln ⁡ w = ln ⁡ u + 1

Bem, mas não estamos nem falando de u nem de w e sim de x . Então voltando para x , temos:

ln ��� u + 1 =   ln ⁡ e x + 1

O resultado final da integral é:

∫ e x 1 + e x d x =   ln ⁡ e x + 1 + C

Resposta

∫ e x 1 + e x d x =   ln ⁡ e x + 1 + C

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