Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Calcule as integrais indefinidas envolvendo valor absoluto.

13)

∫ x x + 1   d x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que calculemos a seguinte integral indefinida:

∫ x x + 1   d x

Eita... tem um módulo aí. Como podemos resolver?

Bom... para isso precisamos considerar dois casos:

  1. x x + 1 ≥ 0 ;
  2. x x + 1 < 0 .

A partir dessa dica, a gente conserve observar o resultado da integral para todo o seu domínio.

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Vamos primeiro resolver a primeira integral utilizando a substituição, temos:

∫ x x + 1   d x ∴

Fazendo u = x + 1 ∴ d u = d x , temos:

= ∫ x u   d x

Observe que u = x + 1 ∴ x = u - 1 . Logo:

= ∫ u - 1 u   d x ∴

= ∫ u u   d x - ∫ 1 u   d x ∴

= ∫ 1   d x - ∫ 1 u   d x ∴

= u - ln ⁡ u ∴

= x + 1 - ln ⁡ x + 1 + C

Passo 3

Agora, calculando a segunda integral, temos:

∫ - x x + 1   d x ∴

Fazendo u = x + 1 ∴ d u = d x , temos:

= - �� x u   d x

Observe que u = x + 1 ∴ x = u - 1 . Logo:

= - ∫ u - 1 u   d x ∴

= - ∫ u u   d x + ∫ 1 u   d x ∴

= - ∫ 1   d x + ∫ 1 u   d x ∴

= - u + ln ⁡ u ∴

= - x + 1 + ln ⁡ x + 1 + C

Assim, temos o seguinte resultado:

∫ x x + 1   d x = x + 1 - ln ⁡ x + 1 + C ,   p a r a   x x + 1 ≥ 0 - x + 1 + ln ⁡ x + 1 + C ,   p a r a   x x + 1 < 0

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∫ x x + 1   d x = x + 1 - ln ⁡ x + 1 + C ,   p a r a   x x + 1 ≥ 0 - x + 1 + ln ⁡ x + 1 + C ,   p a r a   x x + 1 < 0

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