Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Exercício 731234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120121122123124125126127128129130131132133134135136137138139140141142143144145146147148149150151152153154155156157158159160161162163164165166167168169170171172173174175176177178179180181182183184185186187188189190191192193194195196197198199200201202203204205206207208209210211212213214215216217218219220221222223224225226227228229230231232233234235236237238239240241242243244245246247248249250251252253254255256257258259260261262263264265266267268269270271272273274275276277278279280281282283284285286287288289290291292293294295296297298299300301302303304305306307308309310311312313314315316317318319320321322323324325326327328329330331332333334335336337338339340341342343344345346347348349350351352353354355356357358359360361362363364365366367368369370371372373374375376377378379380381382383384385386387388389390391392393394395396397398399400401402403404405406407408409410411412413414415416417418419420421422423424425426427428429430431432433434435436437438439440441442443444445446447448449450451452453454455456457458459460461462463464465466467468469470471472473474475476477478479480481482483484485486487488489490491492493494495496497498499500501502503504505506507508509510511512513514515516517518519520521522523524525526527528529530531532533534535536537538539540541542543544545546547548549550551552553554555556557558559560561562563564565566567568569570571572573574575576577578579580581582583584585586587588589590591592593594595596597598599600601602603604605

Enunciado

4.7. Calcule 4 ∫ 0 1 1 - x 2 d x e explique por que que esta integral pode ser usada para calcular a área do círculo unitário.

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema queremos obter a integral 4 ∫ 0 1 1 - x 2 d x e explicar por que essa integral pode ser usada para calcular a área do círculo unitário.

E aí, tem alguma ideia do que fazer? 🤔

Para explicar o motivo dessa integral resultar na área de um círculo unitário, a melhor maneira é desenvolver a função de integração.

Bora ver como é! 😎

Passo 2

Igualando a função de integração a y , temos

y = 1 - x 2

y 2 = 1 - x 2

x 2 + y 2 = 1

Perceba que essa função é exatamente igual a equação da circunferência centrada na origem de raio 1 .

Como temos y = 1 - x 2

O gráfico dessa função seria apenas a parte positiva de y , ou seja, a parte de cima da circunferência (isso porque não temo como a raiz de um número resultar em um valor negativo).

Esboçando o gráfico da função e hachurando a região de integração entre x = 0 e x = 1 , vamos ter

Perceba que a região de integração corresponde a ¼ da área do círculo, assim, como o problema é 4 vezes essa integral, o resultado é a área de um círculo de raio 1 completo

4 ∫ 0 1 1 - x 2 d x = π r 2 = π

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

4 ∫ 0 1 1 - x 2 d x = π

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