Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

2. Regra de Substituição

o) ∫ x + 4 x d x

dica: Essa questão é um pouco diferente. Tome u = x + 4 . Logo,

d u = 1 2 x + 4 d x .

Você pode pensar agora “Tá, mas o que faço nessa passagem, já que não aparece essa expressão no denominador da integral para trocar por d u ?” Mas você sabe o que u = x + 4 , então

d u = 1 2 u d x ,

Ou seja 2 u d u = d x . Ache agora uma maneira de expressar o x no denominador da integral e finalize a questão.

Passo 1

Falaaa... tudo bem???

Nessa questão vamos resolver a integral   ∫ x + 4 x d x .

Como temos uma função, dentro da integral, que não dá pra ser integrada diretamente, precisamos usar alguma técnica de integração.

Como temos função composta, usamos o método da substituição.

Passo 2

Usando a dica, vamos achar uma expressão pro x :

u = x + 4

u 2 = x + 4

x = u 2 - 4

A integral fica:

  ∫ x + 4 x d x =   ∫ u u 2 - 4 2 u   d u

= 2 ∫ u 2 u 2 - 4 d u

Passo 3

Ainda está um pouco complicado, né? Mas aqui... concorda que quando temos soma ou subtração embaixo, na fração é ruim, maaas se fossem em cima seria mais de boa porque seria só dividir em duas frações, concorda?

Ohh... se a gente fizer a mágica se somar e diminuir o 4 em cima (já na intenção de deixar parecido com embaixo):

u 2 u 2 - 4 = u 2 - 4 + 4 u 2 - 4

= u 2 - 4 u 2 - 4 + 4 u 2 - 4

= 1 + 4 u 2 - 4

E a integral fica:

∫ u 2 u 2 - 4 d u = ∫ 1 + 4 u 2 - 4 d u

= ∫ d u + ∫ 4 u 2 - 4 d u

Passo 4

Essa segunda integral podemos escrever como:

∫ 4 u 2 - 4 d u = ∫ 4 u - 2 u + 2 d u

Então usaremos frações parciais:

4 u - 2 u + 2 = A u - 2 + B u + 2

= A x + 2 + B x - 2 u - 2 u + 2

= A x + 2 A + B x - 2 B u - 2 u + 2

= A + B x + 2 A - 2 B u - 2 u + 2

E, da igualdade:

4 u - 2 u + 2 = A + B x + 2 A - 2 B u - 2 u + 2

Tiramos o sistema:

A + B = 0 2 A - 2 B = 4

Resolvendo:

A = 1

B = - 1

Então:

4 u 2 - 4 = 1 u - 2 - 1 u + 2

E a integral fica:

∫ 4 u 2 - 4 d u = ∫ 1 u - 2 - 1 u + 2 d u

Passo 5

Voltando pra equação do final do passo 3:

∫ u 2 u 2 - 4 d u = ∫ d u + ∫ 4 u 2 - 4 d u

= ∫ d u + ∫ 1 u - 2 - 1 u + 2 d u

= u + ln ⁡ u - 2 - ln ⁡ u + 2

E voltando pra equação do final do passo 2:

  ∫ x + 4 x d x = 2 ∫ u 2 u 2 - 4 d u

= 2 u + ln ⁡ u - 2 - ln ⁡ u + 2

Voltando pra x :

= 2 x + 4 - ln ⁡ x + 4 - 2 - ln ⁡ | x + 4 + 2 )  

Como é uma integral indefinida, adicionamos uma constante no final:

= 2 x + 4 - ln ⁡ x + 4 - 2 - ln ⁡ | x + 4 + 2 ) + C

Resposta

2 x + 4 - ln ⁡ x + 4 - 2 - ln ⁡ | x + 4 + 2 ) + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral. ∫ x 3 x - 1 - 4 d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
32. ∫ d t 2 + t 2
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integral ∫ sec ⁡ x cos ⁡ 2 x s e nx + sec ⁡ x d x