Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Nos exercícios de 1 a 24 , resolva a integral indicada. Em alguns casos será preciso aplicar mais de uma técnica de integração.

7)

∫ d x x - 1 + x + 1

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer em uma integral é olhar!

“Hm? Oi? Olhar? Como assim?”

Isso mesmo, olhar! Olhar para a integral e “conversar” com ela. Perguntar qual método é o mais conveniente para resolvê-la, pois toda integral meio que te sugere qual é esse caminho de resolução.

Parece uma coisa boba, mas por incrível que pareça isso ajuda muito. Então vamos lá! ☺

Passo 2

∫ d x x - 1 + x + 1

Essa integral, por ter uma fração envolvendo raízes, podemos pensar em primeiro racionaliza-la. Só não se esqueça de que racionalizar envolvendo duas raízes, devemos multiplicar em cima e em baixo pelo conjugado dessa soma, ou seja...

∫ 1 x - 1 + x + 1   d x = ∫ 1 x - 1 + x + 1 ⋅ x - 1 - x + 1 x - 1 - x + 1 d x →

∫ x - 1 - x + 1 x - 1 2 - x + 1 2 d x =

∫ x - 1 - x + 1 x - 1 - x + 1 d x =

∫ x - 1 - x + 1 - 2 d x = - 1 2 ∫ x - 1 - x + 1   d x

Passo 3

Bem mais simples, neh? Agora separando a integral...

- 1 2 ∫ x - 1 - x + 1   d x = - 1 2 ∫ x - 1   d x - ∫ x + 1   d x

Calculando a primeira delas fazendo uma substituição...

x - 1 = a     →         d a = d x

- 1 2 ∫ a   d a - ∫ x + 1   d x

- 1 2 ∫ a 1 2   d a - ∫ x + 1   d x

- 1 2 2 3 a 3 2 - ∫ x + 1   d x

Voltando para a variável original...

- 1 2 2 3 x - 1 3 2 - ∫ x + 1   d x

Passo 4

Agora pra outra integral, vamos fazer o mesmo, beleza?

x + 1 = a     →         d a = d x

- 1 2 2 3 x - 1 3 2 - ∫ a   d x

- 1 2 2 3 x - 1 3 2 - ∫ a 1 2   d a

- 1 2 2 3 x - 1 3 2 - 2 3 a 3 2

Voltando para a variável original...

- 1 2 2 3 x - 1 3 2 - 2 3 x + 1 3 2

Agora falta só ajeitar pro resultado ficar bonitinho. Fazendo a distributiva:

- 1 3 x - 1 3 2 + 1 3 x + 1 3 2

1 3 x + 1 3 2 - 1 3 x - 1 3 2

x + 1 3 2 - x - 1 3 2 3

x + 1 3 - x - 1 3 3

Por fim:

∫ d x x - 1 + x + 1 = x + 1 3 - x - 1 3 3 + C

Resposta

∫ d x x - 1 + x + 1 = x + 1 3 - x - 1 3 3 + C

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Calcule a integral. ∫ x 3 x - 1 - 4 d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
32. ∫ d t 2 + t 2
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integral ∫ sec ⁡ x cos ⁡ 2 x s e nx + sec ⁡ x d x