Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Calcule as seguintes integrais:

a) ∫ x x + 1 d x

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão temos que calcular a integral de uma função dada por x x + 1 e o objetivo é calcular a integral dessa função.

Mas como nossa função não é um polinômio, temos que aplicar algum método diferente.

E aí! Tem ideia de qual método aplicar?? 🤔

Talvez não seja tão fácil só bater o olho e saber qual método de integração usar, mas um método muito interessante para este caso é o método se substituição u d u .

Este método consiste em substituir parte da função de integração por u de forma de se derivarmos u vamos poder relacionar d u com d x de forma a conseguir substituir d x por d u sem que haja x na nossa função.

Bacana, não é?

Bora ver como vai ficar!

Passo 2

Se a gente substituir x + 1 por u , derivando u com relação a x , temos

d u d x = 1 → d u = d x

No numerador da função, temos a variável x solitária, então temos que arrumar um jeito de substituí-la por u .

Se u = x + 1 , passado o 1 para o outro lado vamos obter x = u - 1

Com essas substituições, nossa integral será

∫ x x + 1 d x → ∫ u - 1 u d u

Simplificando a função, vamos obter

∫ u u - 1 u d u

Passado u para o numerador subtraindo o expoente de u

∫ u 1 - 1 2 - u - 1 2 d u → ∫ u 1 2 - u - 1 2 d u

Como a integral de uma soma é igual a soma das integrais, podemos escrever nosso probleminha como

∫ u 1 2 - u - 1 2 d u = ∫ u 1 2 d u - ∫ u - 1 2 d u

Agora temos uma integral mais amigável, não é? 😁

Passo 3

Podemos aplicar o método de integração polinomial somando 1 no expoente de u e dividindo u pelo resultado da soma do seu expoente.

Para a integral de u 1 2 , temos

∫ u 1 2 d u = u 1 2 + 1 1 2 + 1 = u 3 2 3 2

Simplificando a nossa fração

∫ u 1 2 d u = 2 u 3 2 3

Agora para a integral de u - 1 2 , temos

∫ u - 1 2 d u = u - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 = u 1 2 1 2

Simplificando a fração, vamos obter

∫ u - 1 2 d u = 2 u 1 2

Substituindo na integral da soma, temos

∫ u 1 2 - u - 1 2 d u = 2 u 3 2 3 - 2 u 1 2

Por fim, substituindo u por x + 1 de volta

∫ x x + 1 d x = 2 x + 1 3 2 3 - 2 x + 1 1 2

Assim a gente calcula a integral da nossa função!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

∫ x x + 1 d x = 2 x + 1 3 2 3 - 2 x + 1 1 2

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32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x