Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

4 Resolva ∫ - ∞ ∞ d x 4 x 2 + 4 x + 5 (Determine se a integral é convergente ou divergente)

Passo 1

Falaaa... beleza???

Nessa questão vamos resolver a integral ∫ - ∞ ∞ d x 4 x 2 + 4 x + 5 e dizer se ela é convergente ou divergente.

Pra calcular a integral vamos usar substituição simples, maaas como os limites de integração estão indo para menos infinito e mais infinito, vamos substituir por uma letrinha qualquer e resolver normalmente:

∫ - a a d x 4 x 2 + 4 x + 5

Depois, calculamos o limite do resultado com a tendendo a + ∞ e - ∞ . Se tiver um resultado finito, então ela é convergente.

Passo 2

Essa integral tá meio feiosa, então vamos precisar de alguma técnica, né? Repara que temos um polinômio de grau 2 embaixo e nada em cima... Isso lembra:

∫ 1 t 2 + 1 d t = arctan ⁡ t

Então vamos manipular pra deixar com essa carinha.

Completando quadrados:

∫ - a a d x 4 x 2 + 4 x + 5 = ∫ - a a d x 4 x 2 + 4 x + 1 + 4

= ∫ - a a d x 2 x + 1 2 + 4

Colocando o 4 em evidência porque queremos fazer aparecer um " 1 " .

= ∫ - a a d x 4 2 x + 1 2 4 + 1

= 1 4 ∫ - a a d x 2 x + 1 2 4 + 1

Botando o 4 pra dentro do quadrado:

= 1 4 ∫ - a a d x 2 x + 1 2 2 + 1

= 1 4 ∫ - a a d x x + 1 2 2 + 1

Passo 3

Agora fazendo uma substituição simples:

t = x + 1 2

d t = d x

E para os limites de integração:

x = a → t = a + 1 2

x = - a → t = - a + 1 2

A integral fica:

1 4 ∫ - a a d x x + 1 2 2 + 1 = 1 4 ∫ - a + 1 2 a + 1 2 d t t 2 + 1

= 1 4 arctan ⁡ a + 1 2 - arctan ⁡ - a + 1 2

Agora calculando o limite:

lim a → ∞ ⁡ 1 4 arctan ⁡ a + 1 2 - arctan ⁡ - a + 1 2 = 1 4 π 2 - - π 2

= π 16

Como o limite deu um valor finito, então a integral é convergente.

Resposta

π 16

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