Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Determine a convergência de ∫ - ∞ 0 e 1 / x x 2 d x e, caso seja convergente, determine seu valor.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que determinar se a seguinte integral é convergente

∫ - ∞ 0 e 1 / x x 2 d x

ou seja, avaliar se ela resulta em um valor finito após avaliarmos a integração. O segredo é sempre escrever a integral imprópria como um limite da forma

l i m b → ∞ ∫ - b 0 e 1 / x x 2 d x

e avaliar a integral normalmente. Neste caso, temos a situação perfeita para usar uma substituição simples! Saca só!

Passo 2

Vamos fazer a seguinte substituição simples

u = 1 / x e d u = - 1 / x 2

de forma que a nossa integral se torna

l i m b → ∞ ∫ - b 0 e 1 / x x 2 d x = - l i m b → ∞ ∫ u ( - b ) u ( 0 ) e u d u

note que avaliar os limites aqui também significa fazer um pequeno limite, já que

u ( 0 ) = l i m a → 0 - u ( a ) = l i m x → 0 - 1 a

ou simplesmente

u ( 0 ) = - ∞

sendo assim, nossa integral se torna

- l i m b → ∞ ∫ u ( - b ) u ( 0 ) e u d u = - l i m b → ∞ ∫ - 1 / b - ∞ e u d u

Vamos continuar reescrevendo! Saca só!

Passo 3

Novamente, vamos analisar o sistema como se fosse um limite, temos que

- l i m b → ∞ ∫ - 1 / b ∞ e u d u = - l i m a , b → ∞ ∫ - 1 / b - a e u d u

a integral resulta em

∫ - 1 / b - a e u d u = e u | - 1 / b - a = e - a - e - 1 / b

de forma que temos que calcular

l i m a , b → ∞ [ 1 e 1 / b - 1 e a ] = 1

Portanto, temos que

∫ - ∞ 0 e 1 / x x 2 d x = 1

uma integral imprópria convergente! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ - ∞ 0 e 1 / x x 2 d x = 1

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